Mathématiques de base Exemples

$\frac{a}{3 b} - 2 (\frac{a}{b} - \frac{b}{2 a})$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Pour écrire $\frac{a}{b}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 a}{2 a}$ .

$\frac{a}{3 b} - 2 (\frac{a}{b} \cdot \frac{2 a}{2 a} - \frac{b}{2 a})$

Étape 1.2

Pour écrire $- \frac{b}{2 a}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{b}{b}$ .

$\frac{a}{3 b} - 2 (\frac{a}{b} \cdot \frac{2 a}{2 a} - \frac{b}{2 a} \cdot \frac{b}{b})$

Étape 1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $b \cdot 2 a$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.3.1

Multipliez $\frac{a}{b}$ par $\frac{2 a}{2 a}$ .

$\frac{a}{3 b} - 2 (\frac{a (2 a)}{b (2 a)} - \frac{b}{2 a} \cdot \frac{b}{b})$

Étape 1.3.2

Multipliez $\frac{b}{2 a}$ par $\frac{b}{b}$ .

$\frac{a}{3 b} - 2 (\frac{a (2 a)}{b (2 a)} - \frac{b \cdot b}{2 a b})$

Étape 1.3.3

Réorganisez les facteurs de $b (2 a)$ .

$\frac{a}{3 b} - 2 (\frac{a (2 a)}{2 a b} - \frac{b \cdot b}{2 a b})$

Étape 1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{a}{3 b} - 2 \frac{a (2 a) - b \cdot b}{2 a b}$

Étape 1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.5.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{a}{3 b} - 2 \frac{2 a \cdot a - b \cdot b}{2 a b}$

Étape 1.5.2

Multipliez $a$ par $a$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.2.1

Déplacez $a$ .

$\frac{a}{3 b} - 2 \frac{2 (a \cdot a) - b \cdot b}{2 a b}$

Étape 1.5.2.2

Multipliez $a$ par $a$ .

$\frac{a}{3 b} - 2 \frac{2 a^{2} - b \cdot b}{2 a b}$

Étape 1.5.3

Multipliez $b$ par $b$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.3.1

Déplacez $b$ .

$\frac{a}{3 b} - 2 \frac{2 a^{2} - (b \cdot b)}{2 a b}$

Étape 1.5.3.2

Multipliez $b$ par $b$ .

$\frac{a}{3 b} - 2 \frac{2 a^{2} - b^{2}}{2 a b}$

Étape 1.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.6.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{a}{3 b} + 2 (- 1) \frac{2 a^{2} - b^{2}}{2 a b}$

Étape 1.6.2

Factorisez $2$ à partir de $2 a b$ .

$\frac{a}{3 b} + 2 (- 1) \frac{2 a^{2} - b^{2}}{2 (a b)}$

Étape 1.6.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{a}{3 b} + 2 \cdot - 1 \frac{2 a^{2} - b^{2}}{2 (a b)}$

Étape 1.6.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{a}{3 b} - 1 \frac{2 a^{2} - b^{2}}{a b}$

Étape 1.7

Réécrivez $- 1 \frac{2 a^{2} - b^{2}}{a b}$ comme $- \frac{2 a^{2} - b^{2}}{a b}$ .

$\frac{a}{3 b} - \frac{2 a^{2} - b^{2}}{a b}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{a}{3 b}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{a}{a}$ .

$\frac{a}{3 b} \cdot \frac{a}{a} - \frac{2 a^{2} - b^{2}}{a b}$

Étape 3

Pour écrire $- \frac{2 a^{2} - b^{2}}{a b}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{a}{3 b} \cdot \frac{a}{a} - \frac{2 a^{2} - b^{2}}{a b} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $3 b a$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{a}{3 b}$ par $\frac{a}{a}$ .

$\frac{a \cdot a}{3 b a} - \frac{2 a^{2} - b^{2}}{a b} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{2 a^{2} - b^{2}}{a b}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{a \cdot a}{3 b a} - \frac{(2 a^{2} - b^{2}) \cdot 3}{a b \cdot 3}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $3 b a$ .

$\frac{a \cdot a}{3 a b} - \frac{(2 a^{2} - b^{2}) \cdot 3}{a b \cdot 3}$

Étape 4.4

Réorganisez les facteurs de $a b \cdot 3$ .

$\frac{a \cdot a}{3 a b} - \frac{(2 a^{2} - b^{2}) \cdot 3}{3 a b}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{a \cdot a - (2 a^{2} - b^{2}) \cdot 3}{3 a b}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Multipliez $a$ par $a$ .

$\frac{a^{2} - (2 a^{2} - b^{2}) \cdot 3}{3 a b}$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a^{2} + (- (2 a^{2}) - - b^{2}) \cdot 3}{3 a b}$

Étape 6.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{a^{2} + (- 2 a^{2} - - b^{2}) \cdot 3}{3 a b}$

Étape 6.4

Multipliez $- - b^{2}$ .

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Étape 6.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{a^{2} + (- 2 a^{2} + 1 b^{2}) \cdot 3}{3 a b}$

Étape 6.4.2

Multipliez $b^{2}$ par $1$ .

$\frac{a^{2} + (- 2 a^{2} + b^{2}) \cdot 3}{3 a b}$

Étape 6.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a^{2} - 2 a^{2} \cdot 3 + b^{2} \cdot 3}{3 a b}$

Étape 6.6

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$\frac{a^{2} - 6 a^{2} + b^{2} \cdot 3}{3 a b}$

Étape 6.7

Déplacez $3$ à gauche de $b^{2}$ .

$\frac{a^{2} - 6 a^{2} + 3 \cdot b^{2}}{3 a b}$

Étape 6.8

Soustrayez $6 a^{2}$ de $a^{2}$ .

$\frac{- 5 a^{2} + 3 b^{2}}{3 a b}$

Étape 7

Simplifiez en factorisant.

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Étape 7.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 5 a^{2}$ .

$\frac{- (5 a^{2}) + 3 b^{2}}{3 a b}$

Étape 7.2

Factorisez $- 1$ à partir de $3 b^{2}$ .

$\frac{- (5 a^{2}) - (- 3 b^{2})}{3 a b}$

Étape 7.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (5 a^{2}) - (- 3 b^{2})$ .

$\frac{- (5 a^{2} - 3 b^{2})}{3 a b}$

Étape 7.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.4.1

Réécrivez $- (5 a^{2} - 3 b^{2})$ comme $- 1 (5 a^{2} - 3 b^{2})$ .

$\frac{- 1 (5 a^{2} - 3 b^{2})}{3 a b}$

Étape 7.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{5 a^{2} - 3 b^{2}}{3 a b}$