Mathématiques de base Exemples

$\frac{r - 2}{r^{2} - 2 r - 8} + \frac{r - 3}{r + 2} = \frac{1}{r^{2} - 2 r - 8}$

Étape 1

Factorisez chaque terme.

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Étape 1.1

Factorisez $r^{2} - 2 r - 8$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 8$ et dont la somme est $- 2$ .

$- 4, 2$

Étape 1.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{r - 2}{(r - 4) (r + 2)} + \frac{r - 3}{r + 2} = \frac{1}{r^{2} - 2 r - 8}$

Étape 1.2

Factorisez $r^{2} - 2 r - 8$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 8$ et dont la somme est $- 2$ .

$- 4, 2$

Étape 1.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{r - 2}{(r - 4) (r + 2)} + \frac{r - 3}{r + 2} = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)}$

Étape 2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$(r - 4) (r + 2), r + 2, (r - 4) (r + 2)$

Étape 2.2

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 2.3

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 2.4

Le plus petit multiple commun de $1, 1, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$1$

Étape 2.5

Le facteur pour $r - 4$ est $r - 4$ lui-même.

$(r - 4) = r - 4$

$(r - 4)$ se produit $1$ fois.

Étape 2.6

Le facteur pour $r + 2$ est $r + 2$ lui-même.

$(r + 2) = r + 2$

$(r + 2)$ se produit $1$ fois.

Étape 2.7

Le facteur pour $r - 4$ est $r - 4$ lui-même.

$(r - 4) = r - 4$

$(r - 4)$ se produit $1$ fois.

Étape 2.8

Le facteur pour $r + 2$ est $r + 2$ lui-même.

$(r + 2) = r + 2$

$(r + 2)$ se produit $1$ fois.

Étape 2.9

Le plus petit multiple commun de $r - 4, r + 2, r + 2, r - 4, r + 2$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$(r - 4) (r + 2)$

Étape 3

Multiplier chaque terme dans $\frac{r - 2}{(r - 4) (r + 2)} + \frac{r - 3}{r + 2} = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)}$ par $(r - 4) (r + 2)$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{r - 2}{(r - 4) (r + 2)} + \frac{r - 3}{r + 2} = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)}$ par $(r - 4) (r + 2)$ .

$\frac{r - 2}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2)) + \frac{r - 3}{r + 2} ((r - 4) (r + 2)) = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2))$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun de $(r - 4) (r + 2)$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{r - 2}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2)) + \frac{r - 3}{r + 2} ((r - 4) (r + 2)) = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2))$

Étape 3.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$r - 2 + \frac{r - 3}{r + 2} ((r - 4) (r + 2)) = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2))$

Étape 3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $r + 2$ .

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Étape 3.2.1.2.1

Factorisez $r + 2$ à partir de $(r - 4) (r + 2)$ .

$r - 2 + \frac{r - 3}{r + 2} ((r + 2) (r - 4)) = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2))$

Étape 3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$r - 2 + \frac{r - 3}{r + 2} ((r + 2) (r - 4)) = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2))$

Étape 3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$r - 2 + (r - 3) (r - 4) = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2))$

Étape 3.2.1.3

Développez $(r - 3) (r - 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.2.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$r - 2 + r (r - 4) - 3 (r - 4) = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2))$

Étape 3.2.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$r - 2 + r \cdot r + r \cdot - 4 - 3 (r - 4) = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2))$

Étape 3.2.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$r - 2 + r \cdot r + r \cdot - 4 - 3 r - 3 \cdot - 4 = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2))$

Étape 3.2.1.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.2.1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.4.1.1

Multipliez $r$ par $r$ .

$r - 2 + r^{2} + r \cdot - 4 - 3 r - 3 \cdot - 4 = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2))$

Étape 3.2.1.4.1.2

Déplacez $- 4$ à gauche de $r$ .

$r - 2 + r^{2} - 4 \cdot r - 3 r - 3 \cdot - 4 = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2))$

Étape 3.2.1.4.1.3

Multipliez $- 3$ par $- 4$ .

$r - 2 + r^{2} - 4 r - 3 r + 12 = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2))$

Étape 3.2.1.4.2

Soustrayez $3 r$ de $- 4 r$ .

$r - 2 + r^{2} - 7 r + 12 = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2))$

Étape 3.2.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 3.2.2.1

Soustrayez $7 r$ de $r$ .

$- 6 r - 2 + r^{2} + 12 = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2))$

Étape 3.2.2.2

Additionnez $- 2$ et $12$ .

$- 6 r + r^{2} + 10 = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2))$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Annulez le facteur commun de $(r - 4) (r + 2)$ .

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Étape 3.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$- 6 r + r^{2} + 10 = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2))$

Étape 3.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$- 6 r + r^{2} + 10 = 1$

Étape 4

Résolvez l’équation.

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Étape 4.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 6 r + r^{2} + 10 - 1 = 0$

Étape 4.2

Soustrayez $1$ de $10$ .

$- 6 r + r^{2} + 9 = 0$

Étape 4.3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 4.3.1

Laissez $u = r$ . Remplacez toutes les occurrences de $r$ par $u$ .

$- 6 u + u^{2} + 9 = 0$

Étape 4.3.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 4.3.2.1

Réorganisez les termes.

$u^{2} - 6 u + 9 = 0$

Étape 4.3.2.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$u^{2} - 6 u + 3^{2} = 0$

Étape 4.3.2.3

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$6 u = 2 \cdot u \cdot 3$

Étape 4.3.2.4

Réécrivez le polynôme.

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 3 + 3^{2} = 0$

Étape 4.3.2.5

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = u$ et $b = 3$ .

${(u - 3)}^{2} = 0$

Étape 4.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $r$ .

${(r - 3)}^{2} = 0$

Étape 4.4

Définissez le $r - 3$ égal à $0$ .

$r - 3 = 0$

Étape 4.5

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$r = 3$