Mathématiques de base Exemples

$\frac{5}{1 + R} + \frac{5 + 100}{{(1 + R)}^{2}} = 101.7$

Étape 1

Additionnez $5$ et $100$ .

$\frac{5}{1 + R} + \frac{105}{{(1 + R)}^{2}} = 101.7$

Étape 2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1 + R, {(1 + R)}^{2}, 1$

Étape 2.2

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 2.3

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 2.4

Le plus petit multiple commun de $1, 1, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$1$

Étape 2.5

Le facteur pour $1 + R$ est $1 + R$ lui-même.

$(1 + R) = 1 + R$

$(1 + R)$ se produit $1$ fois.

Étape 2.6

Les facteurs pour $1 + R$ sont $(1 + R) \cdot (1 + R)$ , qui correspond à $1 + R$ multiplié par lui-même $2$ fois.

$(1 + R) = (1 + R) \cdot (1 + R)$

$(1 + R)$ se produit $2$ fois.

Étape 2.7

Le plus petit multiple commun de $1 + R, {(1 + R)}^{2}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

${(1 + R)}^{2}$

Étape 3

Multiplier chaque terme dans $\frac{5}{1 + R} + \frac{105}{{(1 + R)}^{2}} = 101.7$ par ${(1 + R)}^{2}$ afin d’éliminer les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{5}{1 + R} + \frac{105}{{(1 + R)}^{2}} = 101.7$ par ${(1 + R)}^{2}$ .

$\frac{5}{1 + R} {(1 + R)}^{2} + \frac{105}{{(1 + R)}^{2}} {(1 + R)}^{2} = 101.7 {(1 + R)}^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun de $1 + R$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1.1

Factorisez $1 + R$ à partir de ${(1 + R)}^{2}$ .

$\frac{5}{1 + R} ((1 + R) (1 + R)) + \frac{105}{{(1 + R)}^{2}} {(1 + R)}^{2} = 101.7 {(1 + R)}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5}{1 + R} ((1 + R) (1 + R)) + \frac{105}{{(1 + R)}^{2}} {(1 + R)}^{2} = 101.7 {(1 + R)}^{2}$

Étape 3.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$5 (1 + R) + \frac{105}{{(1 + R)}^{2}} {(1 + R)}^{2} = 101.7 {(1 + R)}^{2}$

Étape 3.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$5 \cdot 1 + 5 R + \frac{105}{{(1 + R)}^{2}} {(1 + R)}^{2} = 101.7 {(1 + R)}^{2}$

Étape 3.2.1.3

Multipliez $5$ par $1$ .

$5 + 5 R + \frac{105}{{(1 + R)}^{2}} {(1 + R)}^{2} = 101.7 {(1 + R)}^{2}$

Étape 3.2.1.4

Annulez le facteur commun de ${(1 + R)}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$5 + 5 R + \frac{105}{{(1 + R)}^{2}} {(1 + R)}^{2} = 101.7 {(1 + R)}^{2}$

Étape 3.2.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$5 + 5 R + 105 = 101.7 {(1 + R)}^{2}$

Étape 3.2.2

Additionnez $5$ et $105$ .

$5 R + 110 = 101.7 {(1 + R)}^{2}$

Étape 4

Résolvez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Simplifiez $101.7 {(1 + R)}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Réécrivez.

$5 R + 110 = 0 + 0 + 101.7 {(1 + R)}^{2}$

Étape 4.1.2

Réécrivez ${(1 + R)}^{2}$ comme $(1 + R) (1 + R)$ .

$5 R + 110 = 101.7 ((1 + R) (1 + R))$

Étape 4.1.3

Développez $(1 + R) (1 + R)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$5 R + 110 = 101.7 (1 (1 + R) + R (1 + R))$

Étape 4.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$5 R + 110 = 101.7 (1 \cdot 1 + 1 R + R (1 + R))$

Étape 4.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$5 R + 110 = 101.7 (1 \cdot 1 + 1 R + R \cdot 1 + R \cdot R)$

Étape 4.1.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.4.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.4.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$5 R + 110 = 101.7 (1 + 1 R + R \cdot 1 + R \cdot R)$

Étape 4.1.4.1.2

Multipliez $R$ par $1$ .

$5 R + 110 = 101.7 (1 + R + R \cdot 1 + R \cdot R)$

Étape 4.1.4.1.3

Multipliez $R$ par $1$ .

$5 R + 110 = 101.7 (1 + R + R + R \cdot R)$

Étape 4.1.4.1.4

Multipliez $R$ par $R$ .

$5 R + 110 = 101.7 (1 + R + R + R^{2})$

Étape 4.1.4.2

Additionnez $R$ et $R$ .

$5 R + 110 = 101.7 (1 + 2 R + R^{2})$

Étape 4.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$5 R + 110 = 101.7 \cdot 1 + 101.7 (2 R) + 101.7 R^{2}$

Étape 4.1.6

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.6.1

Multipliez $101.7$ par $1$ .

$5 R + 110 = 101.7 + 101.7 (2 R) + 101.7 R^{2}$

Étape 4.1.6.2

Multipliez $2$ par $101.7$ .

$5 R + 110 = 101.7 + 203.4 R + 101.7 R^{2}$

Étape 4.2

Comme $R$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$101.7 + 203.4 R + 101.7 R^{2} = 5 R + 110$

Étape 4.3

Déplacez tous les termes contenant $R$ du côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Soustrayez $5 R$ des deux côtés de l’équation.

$101.7 + 203.4 R + 101.7 R^{2} - 5 R = 110$

Étape 4.3.2

Soustrayez $5 R$ de $203.4 R$ .

$101.7 + 101.7 R^{2} + 198.4 R = 110$

Étape 4.4

Soustrayez $110$ des deux côtés de l’équation.

$101.7 + 101.7 R^{2} + 198.4 R - 110 = 0$

Étape 4.5

Soustrayez $110$ de $101.7$ .

$101.7 R^{2} + 198.4 R - 8.3 = 0$

Étape 4.6

Factorisez $0.1$ à partir de $101.7 R^{2} + 198.4 R - 8.3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.1

Factorisez $0.1$ à partir de $101.7 R^{2}$ .

$0.1 (1017 R^{2}) + 198.4 R - 8.3 = 0$

Étape 4.6.2

Factorisez $0.1$ à partir de $198.4 R$ .

$0.1 (1017 R^{2}) + 0.1 (1984 R) - 8.3 = 0$

Étape 4.6.3

Factorisez $0.1$ à partir de $- 8.3$ .

$0.1 (1017 R^{2}) + 0.1 (1984 R) + 0.1 (- 83) = 0$

Étape 4.6.4

Factorisez $0.1$ à partir de $0.1 (1017 R^{2}) + 0.1 (1984 R)$ .

$0.1 (1017 R^{2} + 1984 R) + 0.1 (- 83) = 0$

Étape 4.6.5

Factorisez $0.1$ à partir de $0.1 (1017 R^{2} + 1984 R) + 0.1 (- 83)$ .

$0.1 (1017 R^{2} + 1984 R - 83) = 0$

Étape 4.7

Divisez chaque terme dans $0.1 (1017 R^{2} + 1984 R - 83) = 0$ par $0.1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.7.1

Divisez chaque terme dans $0.1 (1017 R^{2} + 1984 R - 83) = 0$ par $0.1$ .

$\frac{0.1 (1017 R^{2} + 1984 R - 83)}{0.1} = \frac{0}{0.1}$

Étape 4.7.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.7.2.1

Annulez le facteur commun de $0.1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{0.1 (1017 R^{2} + 1984 R - 83)}{0.1} = \frac{0}{0.1}$

Étape 4.7.2.1.2

Divisez $1017 R^{2} + 1984 R - 83$ par $1$ .

$1017 R^{2} + 1984 R - 83 = \frac{0}{0.1}$

Étape 4.7.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.7.3.1

Divisez $0$ par $0.1$ .

$1017 R^{2} + 1984 R - 83 = 0$

Étape 4.8

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4.9

Remplacez les valeurs $a = 1017$ , $b = 1984$ et $c = - 83$ dans la formule quadratique et résolvez pour $R$ .

$\frac{- 1984 \pm \sqrt{1984^{2} - 4 \cdot (1017 \cdot - 83)}}{2 \cdot 1017}$

Étape 4.10

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.10.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.10.1.1

Élevez $1984$ à la puissance $2$ .

$R = \frac{- 1984 \pm \sqrt{3936256 - 4 \cdot 1017 \cdot - 83}}{2 \cdot 1017}$

Étape 4.10.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1017 \cdot - 83$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.10.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1017$ .

$R = \frac{- 1984 \pm \sqrt{3936256 - 4068 \cdot - 83}}{2 \cdot 1017}$

Étape 4.10.1.2.2

Multipliez $- 4068$ par $- 83$ .

$R = \frac{- 1984 \pm \sqrt{3936256 + 337644}}{2 \cdot 1017}$

Étape 4.10.1.3

Additionnez $3936256$ et $337644$ .

$R = \frac{- 1984 \pm \sqrt{4273900}}{2 \cdot 1017}$

Étape 4.10.1.4

Réécrivez $4273900$ comme $10^{2} \cdot 42739$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.10.1.4.1

Factorisez $100$ à partir de $4273900$ .

$R = \frac{- 1984 \pm \sqrt{100 (42739)}}{2 \cdot 1017}$

Étape 4.10.1.4.2

Réécrivez $100$ comme $10^{2}$ .

$R = \frac{- 1984 \pm \sqrt{10^{2} \cdot 42739}}{2 \cdot 1017}$

Étape 4.10.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$R = \frac{- 1984 \pm 10 \sqrt{42739}}{2 \cdot 1017}$

Étape 4.10.2

Multipliez $2$ par $1017$ .

$R = \frac{- 1984 \pm 10 \sqrt{42739}}{2034}$

Étape 4.10.3

Simplifiez $\frac{- 1984 \pm 10 \sqrt{42739}}{2034}$ .

$R = \frac{- 992 \pm 5 \sqrt{42739}}{1017}$

Étape 4.11

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$R = - \frac{992 - 5 \sqrt{42739}}{1017}, - \frac{992 + 5 \sqrt{42739}}{1017}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$R = - \frac{992 - 5 \sqrt{42739}}{1017}, - \frac{992 + 5 \sqrt{42739}}{1017}$

Forme décimale :

$R = 0.04097408 \dots, - 1.99180987 \dots$