Mathématiques de base Exemples

$2 = (54) r^{3}$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $54 r^{3} = 2$ .

$54 r^{3} = 2$

Étape 2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$54 r^{3} - 2 = 0$

Étape 3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1

Factorisez $2$ à partir de $54 r^{3} - 2$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $54 r^{3}$ .

$2 (27 r^{3}) - 2 = 0$

Étape 3.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$2 (27 r^{3}) + 2 (- 1) = 0$

Étape 3.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (27 r^{3}) + 2 (- 1)$ .

$2 (27 r^{3} - 1) = 0$

Étape 3.2

Réécrivez $27 r^{3}$ comme ${(3 r)}^{3}$ .

$2 ({(3 r)}^{3} - 1) = 0$

Étape 3.3

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$2 ({(3 r)}^{3} - 1^{3}) = 0$

Étape 3.4

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = 3 r$ et $b = 1$ .

$2 ((3 r - 1) ({(3 r)}^{2} + 3 r \cdot 1 + 1^{2})) = 0$

Étape 3.5

Factorisez.

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Étape 3.5.1

Simplifiez

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Étape 3.5.1.1

Appliquez la règle de produit à $3 r$ .

$2 ((3 r - 1) (3^{2} r^{2} + 3 r \cdot 1 + 1^{2})) = 0$

Étape 3.5.1.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$2 ((3 r - 1) (9 r^{2} + 3 r \cdot 1 + 1^{2})) = 0$

Étape 3.5.1.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$2 ((3 r - 1) (9 r^{2} + 3 r + 1^{2})) = 0$

Étape 3.5.1.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$2 ((3 r - 1) (9 r^{2} + 3 r + 1)) = 0$

Étape 3.5.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 (3 r - 1) (9 r^{2} + 3 r + 1) = 0$

Étape 4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 r - 1 = 0$

$9 r^{2} + 3 r + 1 = 0$

Étape 5

Définissez $3 r - 1$ égal à $0$ et résolvez $r$ .

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Étape 5.1

Définissez $3 r - 1$ égal à $0$ .

$3 r - 1 = 0$

Étape 5.2

Résolvez $3 r - 1 = 0$ pour $r$ .

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Étape 5.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$3 r = 1$

Étape 5.2.2

Divisez chaque terme dans $3 r = 1$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 r = 1$ par $3$ .

$\frac{3 r}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 r}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 5.2.2.2.1.2

Divisez $r$ par $1$ .

$r = \frac{1}{3}$

Étape 6

Définissez $9 r^{2} + 3 r + 1$ égal à $0$ et résolvez $r$ .

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Étape 6.1

Définissez $9 r^{2} + 3 r + 1$ égal à $0$ .

$9 r^{2} + 3 r + 1 = 0$

Étape 6.2

Résolvez $9 r^{2} + 3 r + 1 = 0$ pour $r$ .

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Étape 6.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 6.2.2

Remplacez les valeurs $a = 9$ , $b = 3$ et $c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $r$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (9 \cdot 1)}}{2 \cdot 9}$

Étape 6.2.3

Simplifiez

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Étape 6.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.3.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$r = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9 \cdot 1}}{2 \cdot 9}$

Étape 6.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 9 \cdot 1$ .

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Étape 6.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $9$ .

$r = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36 \cdot 1}}{2 \cdot 9}$

Étape 6.2.3.1.2.2

Multipliez $- 36$ par $1$ .

$r = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 9}$

Étape 6.2.3.1.3

Soustrayez $36$ de $9$ .

$r = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 9}$

Étape 6.2.3.1.4

Réécrivez $- 27$ comme $- 1 (27)$ .

$r = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 9}$

Étape 6.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (27)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$r = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 9}$

Étape 6.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$r = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 9}$

Étape 6.2.3.1.7

Réécrivez $27$ comme $3^{2} \cdot 3$ .

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Étape 6.2.3.1.7.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$r = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 9}$

Étape 6.2.3.1.7.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$r = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 9}$

Étape 6.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$r = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 9}$

Étape 6.2.3.1.9

Déplacez $3$ à gauche de $i$ .

$r = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 9}$

Étape 6.2.3.2

Multipliez $2$ par $9$ .

$r = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{18}$

Étape 6.2.3.3

Simplifiez $\frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{18}$ .

$r = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{6}$

Étape 6.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$r = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{6}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{6}$

Étape 7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 (3 r - 1) (9 r^{2} + 3 r + 1) = 0$ vraie.

$r = \frac{1}{3}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{6}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{6}$