Mathématiques de base Exemples

$1 = 64 {(r)}^{3}$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $64 r^{3} = 1$ .

$64 r^{3} = 1$

Étape 2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$64 r^{3} - 1 = 0$

Étape 3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1

Réécrivez $64 r^{3}$ comme ${(4 r)}^{3}$ .

${(4 r)}^{3} - 1 = 0$

Étape 3.2

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

${(4 r)}^{3} - 1^{3} = 0$

Étape 3.3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = 4 r$ et $b = 1$ .

$(4 r - 1) ({(4 r)}^{2} + 4 r \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Appliquez la règle de produit à $4 r$ .

$(4 r - 1) (4^{2} r^{2} + 4 r \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Étape 3.4.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$(4 r - 1) (16 r^{2} + 4 r \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Étape 3.4.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$(4 r - 1) (16 r^{2} + 4 r + 1^{2}) = 0$

Étape 3.4.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$(4 r - 1) (16 r^{2} + 4 r + 1) = 0$

Étape 4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$4 r - 1 = 0$

$16 r^{2} + 4 r + 1 = 0$

Étape 5

Définissez $4 r - 1$ égal à $0$ et résolvez $r$ .

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Étape 5.1

Définissez $4 r - 1$ égal à $0$ .

$4 r - 1 = 0$

Étape 5.2

Résolvez $4 r - 1 = 0$ pour $r$ .

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Étape 5.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$4 r = 1$

Étape 5.2.2

Divisez chaque terme dans $4 r = 1$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $4 r = 1$ par $4$ .

$\frac{4 r}{4} = \frac{1}{4}$

Étape 5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 r}{4} = \frac{1}{4}$

Étape 5.2.2.2.1.2

Divisez $r$ par $1$ .

$r = \frac{1}{4}$

Étape 6

Définissez $16 r^{2} + 4 r + 1$ égal à $0$ et résolvez $r$ .

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Étape 6.1

Définissez $16 r^{2} + 4 r + 1$ égal à $0$ .

$16 r^{2} + 4 r + 1 = 0$

Étape 6.2

Résolvez $16 r^{2} + 4 r + 1 = 0$ pour $r$ .

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Étape 6.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 6.2.2

Remplacez les valeurs $a = 16$ , $b = 4$ et $c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $r$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (16 \cdot 1)}}{2 \cdot 16}$

Étape 6.2.3

Simplifiez

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Étape 6.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.3.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Étape 6.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 16 \cdot 1$ .

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Étape 6.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $16$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Étape 6.2.3.1.2.2

Multipliez $- 64$ par $1$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 16}$

Étape 6.2.3.1.3

Soustrayez $64$ de $16$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 16}$

Étape 6.2.3.1.4

Réécrivez $- 48$ comme $- 1 (48)$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 16}$

Étape 6.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (48)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Étape 6.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$r = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Étape 6.2.3.1.7

Réécrivez $48$ comme $4^{2} \cdot 3$ .

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Étape 6.2.3.1.7.1

Factorisez $16$ à partir de $48$ .

$r = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 16}$

Étape 6.2.3.1.7.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$r = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Étape 6.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$r = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Étape 6.2.3.1.9

Déplacez $4$ à gauche de $i$ .

$r = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Étape 6.2.3.2

Multipliez $2$ par $16$ .

$r = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$

Étape 6.2.3.3

Simplifiez $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$ .

$r = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{8}$

Étape 6.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$r = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$

Étape 7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(4 r - 1) (16 r^{2} + 4 r + 1) = 0$ vraie.

$r = \frac{1}{4}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$