Mathématiques de base Exemples

$\ln (f) = \ln (p \cdot {(1 + r)}^{n})$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $\ln (p \cdot {(1 + r)}^{n}) = \ln (f)$ .

$\ln (p \cdot {(1 + r)}^{n}) = \ln (f)$

Étape 2

Développez $\ln (p \cdot {(1 + r)}^{n})$ .

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Étape 2.1

Réécrivez $\ln (p \cdot {(1 + r)}^{n})$ comme $\ln (p) + \ln ({(1 + r)}^{n})$ .

$\ln (p) + \ln ({(1 + r)}^{n})$

Étape 2.2

Développez $\ln ({(1 + r)}^{n})$ en déplaçant $n$ hors du logarithme.

$\ln (p) + n \ln (1 + r)$

Étape 3

L’équation développée est $\ln (p) + n \ln (1 + r) = \ln (f)$ .

$\ln (p) + n \ln (1 + r) = \ln (f)$

Étape 4

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.1

Remettez dans l’ordre $1$ et $r$ .

$\ln (p) + n \ln (r + 1) = \ln (f)$

Étape 4.2

Remettez dans l’ordre $\ln (p)$ et $n \ln (r + 1)$ .

$n \ln (r + 1) + \ln (p) = \ln (f)$

Étape 5

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$n \ln (r + 1) + \ln (p) - \ln (f) = 0$

Étape 6

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$n \ln (r + 1) + \ln (\frac{p}{f}) = 0$

Étape 7

Soustrayez $\ln (\frac{p}{f})$ des deux côtés de l’équation.

$n \ln (r + 1) = - \ln (\frac{p}{f})$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $n \ln (r + 1) = - \ln (\frac{p}{f})$ par $n$ et simplifiez.

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $n \ln (r + 1) = - \ln (\frac{p}{f})$ par $n$ .

$\frac{n \ln (r + 1)}{n} = \frac{- \ln (\frac{p}{f})}{n}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $n$ .

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{n \ln (r + 1)}{n} = \frac{- \ln (\frac{p}{f})}{n}$

Étape 8.2.1.2

Divisez $\ln (r + 1)$ par $1$ .

$\ln (r + 1) = \frac{- \ln (\frac{p}{f})}{n}$

Étape 8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\ln (r + 1) = - \frac{\ln (\frac{p}{f})}{n}$

Étape 9

Pour résoudre $r$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (r + 1)} = e^{- \frac{\ln (\frac{p}{f})}{n}}$

Étape 10

Réécrivez $\ln (r + 1) = - \frac{\ln (\frac{p}{f})}{n}$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{\ln (\frac{p}{f})}{n}} = r + 1$

Étape 11

Résolvez $r$ .

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Étape 11.1

Réécrivez l’équation comme $r + 1 = e^{- \frac{\ln (\frac{p}{f})}{n}}$ .

$r + 1 = e^{- \frac{\ln (\frac{p}{f})}{n}}$

Étape 11.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$r = e^{- \frac{\ln (\frac{p}{f})}{n}} - 1$