Mathématiques de base Exemples

$\frac{- \frac{p \cdot 1}{2} \cdot {(32 - p^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{35 \sqrt{35 - p^{2}}} = 2$

Étape 1

Réalisez le produit en croix.

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Étape 1.1

Réalisez un produit en croix en définissant le produit du numérateur du côté droit et du dénominateur du côté gauche égal au produit du numérateur du côté gauche et du dénominateur du côté droit.

$2 \cdot (35 \sqrt{35 - p^{2}}) = - \frac{p \cdot 1}{2} \cdot {(32 - p^{2})}^{- \frac{1}{2}}$

Étape 1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.1

Simplifiez $2 \cdot (35 \sqrt{35 - p^{2}})$ .

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Étape 1.2.1.1

Supprimez les parenthèses.

$2 \cdot (35 \sqrt{35 - p^{2}}) = - \frac{p \cdot 1}{2} \cdot {(32 - p^{2})}^{- \frac{1}{2}}$

Étape 1.2.1.2

Multipliez $35$ par $2$ .

$70 \sqrt{35 - p^{2}} = - \frac{p \cdot 1}{2} \cdot {(32 - p^{2})}^{- \frac{1}{2}}$

Étape 1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.1

Simplifiez $- \frac{p \cdot 1}{2} \cdot {(32 - p^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 1.3.1.1

Multipliez $p$ par $1$ .

$70 \sqrt{35 - p^{2}} = - \frac{p}{2} \cdot {(32 - p^{2})}^{- \frac{1}{2}}$

Étape 1.3.1.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$70 \sqrt{35 - p^{2}} = - \frac{p}{2} \cdot \frac{1}{{(32 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.3.1.3

Multipliez $\frac{1}{{(32 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{p}{2}$ .

$70 \sqrt{35 - p^{2}} = - \frac{p}{{(32 - p^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Étape 1.3.1.4

Déplacez $2$ à gauche de ${(32 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$70 \sqrt{35 - p^{2}} = - \frac{p}{2 {(32 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(70 \sqrt{35 - p^{2}})}^{2} = {(- \frac{p}{2 {(32 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}$

Étape 3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{35 - p^{2}}$ comme ${(35 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${(70 {(35 - p^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \frac{p}{2 {(32 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez ${(70 {(35 - p^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $70 {(35 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$70^{2} {({(35 - p^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \frac{p}{2 {(32 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}$

Étape 3.2.1.2

Élevez $70$ à la puissance $2$ .

$4900 {({(35 - p^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \frac{p}{2 {(32 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}$

Étape 3.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${({(35 - p^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4900 {(35 - p^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{p}{2 {(32 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}$

Étape 3.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$4900 {(35 - p^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{p}{2 {(32 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}$

Étape 3.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$4900 {(35 - p^{2})}^{1} = {(- \frac{p}{2 {(32 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}$

Étape 3.2.1.4

Simplifiez

$4900 (35 - p^{2}) = {(- \frac{p}{2 {(32 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}$

Étape 3.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$4900 \cdot 35 + 4900 (- p^{2}) = {(- \frac{p}{2 {(32 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}$

Étape 3.2.1.6

Multipliez.

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Étape 3.2.1.6.1

Multipliez $4900$ par $35$ .

$171500 + 4900 (- p^{2}) = {(- \frac{p}{2 {(32 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}$

Étape 3.2.1.6.2

Multipliez $- 1$ par $4900$ .

$171500 - 4900 p^{2} = {(- \frac{p}{2 {(32 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Simplifiez ${(- \frac{p}{2 {(32 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 3.3.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{p}{2 {(32 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$171500 - 4900 p^{2} = {(- 1)}^{2} {(\frac{p}{2 {(32 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}$

Étape 3.3.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{p}{2 {(32 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$171500 - 4900 p^{2} = {(- 1)}^{2} \frac{p^{2}}{{(2 {(32 - p^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.3.1.1.3

Appliquez la règle de produit à $2 {(32 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$171500 - 4900 p^{2} = {(- 1)}^{2} \frac{p^{2}}{2^{2} {({(32 - p^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.1.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$171500 - 4900 p^{2} = 1 \frac{p^{2}}{2^{2} {({(32 - p^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.3.1.2.2

Multipliez $\frac{p^{2}}{2^{2} {({(32 - p^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ par $1$ .

$171500 - 4900 p^{2} = \frac{p^{2}}{2^{2} {({(32 - p^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.3.1.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.3.1.3.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$171500 - 4900 p^{2} = \frac{p^{2}}{4 {({(32 - p^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.3.1.3.2

Multipliez les exposants dans ${({(32 - p^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$171500 - 4900 p^{2} = \frac{p^{2}}{4 {(32 - p^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.3.1.3.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.1.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$171500 - 4900 p^{2} = \frac{p^{2}}{4 {(32 - p^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.3.1.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$171500 - 4900 p^{2} = \frac{p^{2}}{4 {(32 - p^{2})}^{1}}$

Étape 3.3.1.3.3

Simplifiez

$171500 - 4900 p^{2} = \frac{p^{2}}{4 (32 - p^{2})}$

Étape 4

Résolvez $p$ .

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Étape 4.1

Soustrayez $171500$ des deux côtés de l’équation.

$- 4900 p^{2} = \frac{p^{2}}{4 (32 - p^{2})} - 171500$

Étape 4.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 4.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, 4 (32 - p^{2}), 1$

Étape 4.2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$4 (32 - p^{2})$

Étape 4.3

Multiplier chaque terme dans $- 4900 p^{2} = \frac{p^{2}}{4 (32 - p^{2})} - 171500$ par $4 (32 - p^{2})$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 4.3.1

Multipliez chaque terme dans $- 4900 p^{2} = \frac{p^{2}}{4 (32 - p^{2})} - 171500$ par $4 (32 - p^{2})$ .

$- 4900 p^{2} (4 (32 - p^{2})) = \frac{p^{2}}{4 (32 - p^{2})} (4 (32 - p^{2})) - 171500 (4 (32 - p^{2}))$

Étape 4.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.2.1

Simplifiez en multipliant.

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Étape 4.3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 4900 p^{2} (4 \cdot 32 + 4 (- p^{2})) = \frac{p^{2}}{4 (32 - p^{2})} (4 (32 - p^{2})) - 171500 (4 (32 - p^{2}))$

Étape 4.3.2.1.2

Multipliez.

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Étape 4.3.2.1.2.1

Multipliez $4$ par $32$ .

$- 4900 p^{2} (128 + 4 (- p^{2})) = \frac{p^{2}}{4 (32 - p^{2})} (4 (32 - p^{2})) - 171500 (4 (32 - p^{2}))$

Étape 4.3.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- 4900 p^{2} (128 - 4 p^{2}) = \frac{p^{2}}{4 (32 - p^{2})} (4 (32 - p^{2})) - 171500 (4 (32 - p^{2}))$

Étape 4.3.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 4900 p^{2} \cdot 128 - 4900 p^{2} (- 4 p^{2}) = \frac{p^{2}}{4 (32 - p^{2})} (4 (32 - p^{2})) - 171500 (4 (32 - p^{2}))$

Étape 4.3.2.1.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.2.1.4.1

Multipliez $128$ par $- 4900$ .

$- 627200 p^{2} - 4900 p^{2} (- 4 p^{2}) = \frac{p^{2}}{4 (32 - p^{2})} (4 (32 - p^{2})) - 171500 (4 (32 - p^{2}))$

Étape 4.3.2.1.4.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 627200 p^{2} - 4900 \cdot - 4 p^{2} p^{2} = \frac{p^{2}}{4 (32 - p^{2})} (4 (32 - p^{2})) - 171500 (4 (32 - p^{2}))$

Étape 4.3.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.2.2.1

Multipliez $p^{2}$ par $p^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.3.2.2.1.1

Déplacez $p^{2}$ .

$- 627200 p^{2} - 4900 \cdot - 4 (p^{2} p^{2}) = \frac{p^{2}}{4 (32 - p^{2})} (4 (32 - p^{2})) - 171500 (4 (32 - p^{2}))$

Étape 4.3.2.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 627200 p^{2} - 4900 \cdot - 4 p^{2 + 2} = \frac{p^{2}}{4 (32 - p^{2})} (4 (32 - p^{2})) - 171500 (4 (32 - p^{2}))$

Étape 4.3.2.2.1.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$- 627200 p^{2} - 4900 \cdot - 4 p^{4} = \frac{p^{2}}{4 (32 - p^{2})} (4 (32 - p^{2})) - 171500 (4 (32 - p^{2}))$

Étape 4.3.2.2.2

Multipliez $- 4900$ par $- 4$ .

$- 627200 p^{2} + 19600 p^{4} = \frac{p^{2}}{4 (32 - p^{2})} (4 (32 - p^{2})) - 171500 (4 (32 - p^{2}))$

Étape 4.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 627200 p^{2} + 19600 p^{4} = 4 \frac{p^{2}}{4 (32 - p^{2})} (32 - p^{2}) - 171500 (4 (32 - p^{2}))$

Étape 4.3.3.1.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.3.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$- 627200 p^{2} + 19600 p^{4} = 4 \frac{p^{2}}{4 (32 - p^{2})} (32 - p^{2}) - 171500 (4 (32 - p^{2}))$

Étape 4.3.3.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$- 627200 p^{2} + 19600 p^{4} = \frac{p^{2}}{32 - p^{2}} (32 - p^{2}) - 171500 (4 (32 - p^{2}))$

Étape 4.3.3.1.3

Annulez le facteur commun de $32 - p^{2}$ .

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Étape 4.3.3.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$- 627200 p^{2} + 19600 p^{4} = \frac{p^{2}}{32 - p^{2}} (32 - p^{2}) - 171500 (4 (32 - p^{2}))$

Étape 4.3.3.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$- 627200 p^{2} + 19600 p^{4} = p^{2} - 171500 (4 (32 - p^{2}))$

Étape 4.3.3.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$- 627200 p^{2} + 19600 p^{4} = p^{2} - 171500 (4 \cdot 32 + 4 (- p^{2}))$

Étape 4.3.3.1.5

Multipliez $4$ par $32$ .

$- 627200 p^{2} + 19600 p^{4} = p^{2} - 171500 (128 + 4 (- p^{2}))$

Étape 4.3.3.1.6

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- 627200 p^{2} + 19600 p^{4} = p^{2} - 171500 (128 - 4 p^{2})$

Étape 4.3.3.1.7

Appliquez la propriété distributive.

$- 627200 p^{2} + 19600 p^{4} = p^{2} - 171500 \cdot 128 - 171500 (- 4 p^{2})$

Étape 4.3.3.1.8

Multipliez $- 171500$ par $128$ .

$- 627200 p^{2} + 19600 p^{4} = p^{2} - 21952000 - 171500 (- 4 p^{2})$

Étape 4.3.3.1.9

Multipliez $- 4$ par $- 171500$ .

$- 627200 p^{2} + 19600 p^{4} = p^{2} - 21952000 + 686000 p^{2}$

Étape 4.3.3.2

Additionnez $p^{2}$ et $686000 p^{2}$ .

$- 627200 p^{2} + 19600 p^{4} = 686001 p^{2} - 21952000$

Étape 4.4

Résolvez l’équation.

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Étape 4.4.1

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

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Étape 4.4.1.1

Soustrayez $686001 p^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$- 627200 p^{2} + 19600 p^{4} - 686001 p^{2} = - 21952000$

Étape 4.4.1.2

Ajoutez $21952000$ aux deux côtés de l’équation.

$- 627200 p^{2} + 19600 p^{4} - 686001 p^{2} + 21952000 = 0$

Étape 4.4.2

Soustrayez $686001 p^{2}$ de $- 627200 p^{2}$ .

$19600 p^{4} - 1313201 p^{2} + 21952000 = 0$

Étape 4.4.3

Remplacez $u = p^{2}$ dans l’équation. Cela facilitera l’utilisation de la formule quadratique.

$19600 u^{2} - 1313201 u + 21952000 = 0$

$u = p^{2}$

Étape 4.4.4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4.4.5

Remplacez les valeurs $a = 19600$ , $b = - 1313201$ et $c = 21952000$ dans la formule quadratique et résolvez pour $u$ .

$\frac{1313201 \pm \sqrt{{(- 1313201)}^{2} - 4 \cdot (19600 \cdot 21952000)}}{2 \cdot 19600}$

Étape 4.4.6

Simplifiez

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Étape 4.4.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.4.6.1.1

Élevez $- 1313201$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{1313201 \pm \sqrt{1724496866401 - 4 \cdot 19600 \cdot 21952000}}{2 \cdot 19600}$

Étape 4.4.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 19600 \cdot 21952000$ .

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Étape 4.4.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $19600$ .

$u = \frac{1313201 \pm \sqrt{1724496866401 - 78400 \cdot 21952000}}{2 \cdot 19600}$

Étape 4.4.6.1.2.2

Multipliez $- 78400$ par $21952000$ .

$u = \frac{1313201 \pm \sqrt{1724496866401 - 1721036800000}}{2 \cdot 19600}$

Étape 4.4.6.1.3

Soustrayez $1721036800000$ de $1724496866401$ .

$u = \frac{1313201 \pm \sqrt{3460066401}}{2 \cdot 19600}$

Étape 4.4.6.2

Multipliez $2$ par $19600$ .

$u = \frac{1313201 \pm \sqrt{3460066401}}{39200}$

Étape 4.4.7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$u = \frac{1313201 + \sqrt{3460066401}}{39200}, \frac{1313201 - \sqrt{3460066401}}{39200}$

Étape 4.4.8

Remplacez à nouveau la valeur réelle de $u = p^{2}$ dans l’équation résolue.

$p^{2} = 35.00059513$

${(p^{2})}^{1} = 31.99945589$

Étape 4.4.9

Résolvez la première équation pour $p$ .

$p^{2} = 35.00059513$

Étape 4.4.10

Résolvez l’équation pour $p$ .

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Étape 4.4.10.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$p = \pm \sqrt{35.00059513}$

Étape 4.4.10.2

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.4.10.2.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$p = \sqrt{35.00059513}$

Étape 4.4.10.2.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$p = - \sqrt{35.00059513}$

Étape 4.4.10.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$p = \sqrt{35.00059513}, - \sqrt{35.00059513}$

Étape 4.4.11

Résolvez la deuxième équation pour $p$ .

${(p^{2})}^{1} = 31.99945589$

Étape 4.4.12

Résolvez l’équation pour $p$ .

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Étape 4.4.12.1

Supprimez les parenthèses.

$p^{2} = 31.99945589$

Étape 4.4.12.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$p = \pm \sqrt{31.99945589}$

Étape 4.4.12.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.4.12.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$p = \sqrt{31.99945589}$

Étape 4.4.12.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$p = - \sqrt{31.99945589}$

Étape 4.4.12.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$p = \sqrt{31.99945589}, - \sqrt{31.99945589}$

Étape 4.4.13

La solution à $19600 p^{4} - 1313201 p^{2} + 21952000 = 0$ est $p = \sqrt{35.00059513}, - \sqrt{35.00059513}, \sqrt{31.99945589}, - \sqrt{31.99945589}$ .

$p = \sqrt{35.00059513}, - \sqrt{35.00059513}, \sqrt{31.99945589}, - \sqrt{31.99945589}$

Étape 5

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\frac{- \frac{p \cdot 1}{2} \cdot {(32 - p^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{35 \sqrt{35 - p^{2}}} = 2$ vrai.

$p = - \sqrt{31.99945589}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$p = - \sqrt{31.99945589}$

Forme décimale :

$p = - 5.65680615 \dots$