Mathématiques de base Exemples

$a^{q - r} \cdot b^{r - p} \cdot c^{p - q} = 1$

Étape 1

Divisez chaque terme dans $a^{q - r} \cdot b^{r - p} \cdot c^{p - q} = 1$ par $b^{r - p}$ et simplifiez.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $a^{q - r} \cdot b^{r - p} \cdot c^{p - q} = 1$ par $b^{r - p}$ .

$\frac{a^{q - r} \cdot b^{r - p} \cdot c^{p - q}}{b^{r - p}} = \frac{1}{b^{r - p}}$

Étape 1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun de $b^{r - p}$ .

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Étape 1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{a^{q - r} \cdot b^{r - p} \cdot c^{p - q}}{b^{r - p}} = \frac{1}{b^{r - p}}$

Étape 1.2.1.2

Divisez $a^{q - r} \cdot c^{p - q}$ par $1$ .

$a^{q - r} \cdot c^{p - q} = \frac{1}{b^{r - p}}$

$a^{q - r} c^{p - q} = \frac{1}{b^{r - p}}$

Étape 2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (a^{q - r} c^{p - q}) = \ln (\frac{1}{b^{r - p}})$

Étape 3

Développez le côté gauche.

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Étape 3.1

Réécrivez $\ln (a^{q - r} c^{p - q})$ comme $\ln (a^{q - r}) + \ln (c^{p - q})$ .

$\ln (a^{q - r}) + \ln (c^{p - q}) = \ln (\frac{1}{b^{r - p}})$

Étape 3.2

Développez $\ln (a^{q - r})$ en déplaçant $q - r$ hors du logarithme.

$(q - r) \ln (a) + \ln (c^{p - q}) = \ln (\frac{1}{b^{r - p}})$

Étape 3.3

Développez $\ln (c^{p - q})$ en déplaçant $p - q$ hors du logarithme.

$(q - r) \ln (a) + (p - q) \ln (c) = \ln (\frac{1}{b^{r - p}})$

Étape 4

Développez le côté droit.

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Étape 4.1

Réécrivez $\ln (\frac{1}{b^{r - p}})$ comme $\ln (1) - \ln (b^{r - p})$ .

$(q - r) \ln (a) + (p - q) \ln (c) = \ln (1) - \ln (b^{r - p})$

Étape 4.2

Développez $\ln (b^{r - p})$ en déplaçant $r - p$ hors du logarithme.

$(q - r) \ln (a) + (p - q) \ln (c) = \ln (1) - ((r - p) \ln (b))$

Étape 4.3

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$(q - r) \ln (a) + (p - q) \ln (c) = 0 - ((r - p) \ln (b))$

Étape 4.4

Soustrayez $(r - p) \ln (b)$ de $0$ .

$(q - r) \ln (a) + (p - q) \ln (c) = - ((r - p) \ln (b))$

Étape 4.5

Supprimez les parenthèses.

$(q - r) \ln (a) + (p - q) \ln (c) = - (r - p) \ln (b)$

Étape 5

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$q \ln (a) - r \ln (a) + (p - q) \ln (c) = - (r - p) \ln (b)$

Étape 5.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$q \ln (a) - r \ln (a) + p \ln (c) - q \ln (c) = - (r - p) \ln (b)$

Étape 6

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.1

Simplifiez $- (r - p) \ln (b)$ .

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Étape 6.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$q \ln (a) - r \ln (a) + p \ln (c) - q \ln (c) = (- r - - p) \ln (b)$

Étape 6.1.2

Multipliez $- - p$ .

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Étape 6.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$q \ln (a) - r \ln (a) + p \ln (c) - q \ln (c) = (- r + 1 p) \ln (b)$

Étape 6.1.2.2

Multipliez $p$ par $1$ .

$q \ln (a) - r \ln (a) + p \ln (c) - q \ln (c) = (- r + p) \ln (b)$

Étape 6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$q \ln (a) - r \ln (a) + p \ln (c) - q \ln (c) = - r \ln (b) + p \ln (b)$

Étape 7

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.1

Déplacez $- r \ln (a)$ .

$q \ln (a) + p \ln (c) - q \ln (c) - r \ln (a) = - r \ln (b) + p \ln (b)$

Étape 7.2

Remettez dans l’ordre $q \ln (a)$ et $p \ln (c)$ .

$p \ln (c) + q \ln (a) - q \ln (c) - r \ln (a) = - r \ln (b) + p \ln (b)$

Étape 8

Remettez dans l’ordre $- r \ln (b)$ et $p \ln (b)$ .

$p \ln (c) + q \ln (a) - q \ln (c) - r \ln (a) = p \ln (b) - r \ln (b)$

Étape 9

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$p \ln (c) + q \ln (a) - q \ln (c) - r \ln (a) - p \ln (b) + r \ln (b) = 0$

Étape 10

Déplacez tous les termes ne contenant pas $q$ du côté droit de l’équation.

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Étape 10.1

Soustrayez $p \ln (c)$ des deux côtés de l’équation.

$q \ln (a) - q \ln (c) - r \ln (a) - p \ln (b) + r \ln (b) = - p \ln (c)$

Étape 10.2

Ajoutez $r \ln (a)$ aux deux côtés de l’équation.

$q \ln (a) - q \ln (c) - p \ln (b) + r \ln (b) = - p \ln (c) + r \ln (a)$

Étape 10.3

Ajoutez $p \ln (b)$ aux deux côtés de l’équation.

$q \ln (a) - q \ln (c) + r \ln (b) = - p \ln (c) + r \ln (a) + p \ln (b)$

Étape 10.4

Soustrayez $r \ln (b)$ des deux côtés de l’équation.

$q \ln (a) - q \ln (c) = - p \ln (c) + r \ln (a) + p \ln (b) - r \ln (b)$

Étape 11

Factorisez $q$ à partir de $q \ln (a) - q \ln (c)$ .

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Étape 11.1

Factorisez $q$ à partir de $q \ln (a)$ .

$q (\ln (a)) - q \ln (c) = - p \ln (c) + r (\ln (a)) + p \ln (b) - r \ln (b)$

Étape 11.2

Factorisez $q$ à partir de $- q \ln (c)$ .

$q (\ln (a)) + q (- 1 \ln (c)) = - p \ln (c) + r (\ln (a)) + p \ln (b) - r \ln (b)$

Étape 11.3

Factorisez $q$ à partir de $q (\ln (a)) + q (- 1 \ln (c))$ .

$q (\ln (a) - 1 \ln (c)) = - p \ln (c) + r \ln (a) + p \ln (b) - r \ln (b)$

Étape 12

Réécrivez $- 1 \ln (c)$ comme $- \ln (c)$ .

$q (\ln (a) - \ln (c)) = - p \ln (c) + r \ln (a) + p \ln (b) - r \ln (b)$

Étape 13

Divisez chaque terme dans $q (\ln (a) - \ln (c)) = - p \ln (c) + r \ln (a) + p \ln (b) - r \ln (b)$ par $\ln (a) - \ln (c)$ et simplifiez.

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Étape 13.1

Divisez chaque terme dans $q (\ln (a) - \ln (c)) = - p \ln (c) + r \ln (a) + p \ln (b) - r \ln (b)$ par $\ln (a) - \ln (c)$ .

$\frac{q (\ln (a) - \ln (c))}{\ln (a) - \ln (c)} = \frac{- p \ln (c)}{\ln (a) - \ln (c)} + \frac{r \ln (a)}{\ln (a) - \ln (c)} + \frac{p \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)} + \frac{- r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$

Étape 13.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 13.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (a) - \ln (c)$ .

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Étape 13.2.1.1

Annulez le facteur commun.

Étape 13.2.1.2

Divisez $q$ par $1$ .

$q = \frac{- p \ln (c)}{\ln (a) - \ln (c)} + \frac{r \ln (a)}{\ln (a) - \ln (c)} + \frac{p \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)} + \frac{- r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$

Étape 13.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 13.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$q = - \frac{p \ln (c)}{\ln (a) - \ln (c)} + \frac{r \ln (a)}{\ln (a) - \ln (c)} + \frac{p \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)} + \frac{- r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$

Étape 13.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$q = - \frac{p \ln (c)}{\ln (a) - \ln (c)} + \frac{r \ln (a)}{\ln (a) - \ln (c)} + \frac{p \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)} - \frac{r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$

Étape 13.3.2

Simplifiez les termes.

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Étape 13.3.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$q = \frac{- p \ln (c) + r \ln (a)}{\ln (a) - \ln (c)} + \frac{p \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)} - \frac{r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$

Étape 13.3.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$q = \frac{- p \ln (c) + r \ln (a) + p \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)} - \frac{r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$

Étape 13.3.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$q = \frac{- p \ln (c) + r \ln (a) + p \ln (b) - r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$

Étape 13.3.2.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- p \ln (c)$ .

$q = \frac{- (p \ln (c)) + r \ln (a) + p \ln (b) - r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$

Étape 13.3.2.5

Factorisez $- 1$ à partir de $r \ln (a)$ .

$q = \frac{- (p \ln (c)) - (- r \ln (a)) + p \ln (b) - r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$

Étape 13.3.2.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (p \ln (c)) - (- r \ln (a))$ .

$q = \frac{- (p \ln (c) - r \ln (a)) + p \ln (b) - r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$

Étape 13.3.2.7

Factorisez $- 1$ à partir de $p \ln (b)$ .

$q = \frac{- (p \ln (c) - r \ln (a)) - (- p \ln (b)) - r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$

Étape 13.3.2.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (p \ln (c) - r \ln (a)) - (- p \ln (b))$ .

$q = \frac{- (p \ln (c) - r \ln (a) - p \ln (b)) - r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$

Étape 13.3.2.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- r \ln (b)$ .

$q = \frac{- (p \ln (c) - r \ln (a) - p \ln (b)) - (r \ln (b))}{\ln (a) - \ln (c)}$

Étape 13.3.2.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- (p \ln (c) - r \ln (a) - p \ln (b)) - (r \ln (b))$ .

$q = \frac{- (p \ln (c) - r \ln (a) - p \ln (b) + r \ln (b))}{\ln (a) - \ln (c)}$

Étape 13.3.2.11

Simplifiez l’expression.

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Étape 13.3.2.11.1

Réécrivez $- (p \ln (c) - r \ln (a) - p \ln (b) + r \ln (b))$ comme $- 1 (p \ln (c) - r \ln (a) - p \ln (b) + r \ln (b))$ .

$q = \frac{- 1 (p \ln (c) - r \ln (a) - p \ln (b) + r \ln (b))}{\ln (a) - \ln (c)}$

Étape 13.3.2.11.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$q = - \frac{p \ln (c) - r \ln (a) - p \ln (b) + r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$