Mathématiques de base Exemples

$\frac{1}{1 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 9} + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} = \frac{n}{4 n + 1}$

Étape 1

Factorisez chaque terme.

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Étape 1.1

Multipliez $5$ par $1$ .

$\frac{1}{5} + \frac{1}{5 \cdot 9} + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} = \frac{n}{4 n + 1}$

Étape 1.2

Multipliez $5$ par $9$ .

$\frac{1}{5} + \frac{1}{45} + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} = \frac{n}{4 n + 1}$

Étape 1.3

Pour écrire $\frac{1}{5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{9}{9}$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{9}{9} + \frac{1}{45} + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} = \frac{n}{4 n + 1}$

Étape 1.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $45$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.4.1

Multipliez $\frac{1}{5}$ par $\frac{9}{9}$ .

$\frac{9}{5 \cdot 9} + \frac{1}{45} + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} = \frac{n}{4 n + 1}$

Étape 1.4.2

Multipliez $5$ par $9$ .

$\frac{9}{45} + \frac{1}{45} + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} = \frac{n}{4 n + 1}$

Étape 1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{9 + 1}{45} + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} = \frac{n}{4 n + 1}$

Étape 1.6

Additionnez $9$ et $1$ .

$\frac{10}{45} + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} = \frac{n}{4 n + 1}$

Étape 2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$45, (4 n - 3) \cdot (4 n + 1), 4 n + 1$

Étape 2.2

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 2.3

Les facteurs premiers pour $45$ sont $3 \cdot 3 \cdot 5$ .

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Étape 2.3.1

$45$ a des facteurs de $3$ et $15$ .

$3 \cdot 15$

Étape 2.3.2

$15$ a des facteurs de $3$ et $5$ .

$3 \cdot 3 \cdot 5$

Étape 2.4

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 2.5

Le plus petit multiple commun de $45, 1, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$3 \cdot 3 \cdot 5$

Étape 2.6

Multipliez $3 \cdot 3 \cdot 5$ .

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Étape 2.6.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$9 \cdot 5$

Étape 2.6.2

Multipliez $9$ par $5$ .

$45$

Étape 2.7

Le facteur pour $4 n - 3$ est $4 n - 3$ lui-même.

$(4 n - 3) = 4 n - 3$

$(4 n - 3)$ se produit $1$ fois.

Étape 2.8

Le facteur pour $4 n + 1$ est $4 n + 1$ lui-même.

$(4 n + 1) = 4 n + 1$

$(4 n + 1)$ se produit $1$ fois.

Étape 2.9

Le plus petit multiple commun de $4 n - 3, 4 n + 1, 4 n + 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$(4 n - 3) (4 n + 1)$

Étape 2.10

Le plus petit multiple commun $LCM$ de certains nombres est le plus petit nombre dont les nombres sont des facteurs.

$45 (4 n - 3) (4 n + 1)$

Étape 3

Multiplier chaque terme dans $\frac{10}{45} + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} = \frac{n}{4 n + 1}$ par $45 (4 n - 3) (4 n + 1)$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{10}{45} + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} = \frac{n}{4 n + 1}$ par $45 (4 n - 3) (4 n + 1)$ .

$\frac{10}{45} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun de $45$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Factorisez $45$ à partir de $45 (4 n - 3) (4 n + 1)$ .

$\frac{10}{45} (45 ((4 n - 3) (4 n + 1))) + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{10}{45} (45 ((4 n - 3) (4 n + 1))) + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Étape 3.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$10 ((4 n - 3) (4 n + 1)) + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Étape 3.2.1.2

Développez $(4 n - 3) (4 n + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$10 (4 n (4 n + 1) - 3 (4 n + 1)) + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Étape 3.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$10 (4 n (4 n) + 4 n \cdot 1 - 3 (4 n + 1)) + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Étape 3.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$10 (4 n (4 n) + 4 n \cdot 1 - 3 (4 n) - 3 \cdot 1) + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Étape 3.2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$10 (4 \cdot 4 n \cdot n + 4 n \cdot 1 - 3 (4 n) - 3 \cdot 1) + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Étape 3.2.1.3.1.2

Multipliez $n$ par $n$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.1.3.1.2.1

Déplacez $n$ .

$10 (4 \cdot 4 (n \cdot n) + 4 n \cdot 1 - 3 (4 n) - 3 \cdot 1) + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Étape 3.2.1.3.1.2.2

Multipliez $n$ par $n$ .

$10 (4 \cdot 4 n^{2} + 4 n \cdot 1 - 3 (4 n) - 3 \cdot 1) + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Étape 3.2.1.3.1.3

Multipliez $4$ par $4$ .

$10 (16 n^{2} + 4 n \cdot 1 - 3 (4 n) - 3 \cdot 1) + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Étape 3.2.1.3.1.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$10 (16 n^{2} + 4 n - 3 (4 n) - 3 \cdot 1) + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Étape 3.2.1.3.1.5

Multipliez $4$ par $- 3$ .

$10 (16 n^{2} + 4 n - 12 n - 3 \cdot 1) + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Étape 3.2.1.3.1.6

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$10 (16 n^{2} + 4 n - 12 n - 3) + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Étape 3.2.1.3.2

Soustrayez $12 n$ de $4 n$ .

$10 (16 n^{2} - 8 n - 3) + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Étape 3.2.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$10 (16 n^{2}) + 10 (- 8 n) + 10 \cdot - 3 + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Étape 3.2.1.5

Simplifiez

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Étape 3.2.1.5.1

Multipliez $16$ par $10$ .

$160 n^{2} + 10 (- 8 n) + 10 \cdot - 3 + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Étape 3.2.1.5.2

Multipliez $- 8$ par $10$ .

$160 n^{2} - 80 n + 10 \cdot - 3 + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Étape 3.2.1.5.3

Multipliez $10$ par $- 3$ .

$160 n^{2} - 80 n - 30 + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Étape 3.2.1.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$160 n^{2} - 80 n - 30 + 45 \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} ((4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Étape 3.2.1.7

Associez $45$ et $\frac{1}{(4 n - 3) (4 n + 1)}$ .

$160 n^{2} - 80 n - 30 + \frac{45}{(4 n - 3) (4 n + 1)} ((4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Étape 3.2.1.8

Annulez le facteur commun de $(4 n - 3) (4 n + 1)$ .

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Étape 3.2.1.8.1

Annulez le facteur commun.

$160 n^{2} - 80 n - 30 + \frac{45}{(4 n - 3) (4 n + 1)} ((4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Étape 3.2.1.8.2

Réécrivez l’expression.

$160 n^{2} - 80 n - 30 + 45 = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Étape 3.2.2

Additionnez $- 30$ et $45$ .

$160 n^{2} - 80 n + 15 = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Simplifiez les termes.

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$160 n^{2} - 80 n + 15 = 45 \frac{n}{4 n + 1} ((4 n - 3) (4 n + 1))$

Étape 3.3.1.2

Associez $45$ et $\frac{n}{4 n + 1}$ .

$160 n^{2} - 80 n + 15 = \frac{45 n}{4 n + 1} ((4 n - 3) (4 n + 1))$

Étape 3.3.1.3

Annulez le facteur commun de $4 n + 1$ .

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Étape 3.3.1.3.1

Factorisez $4 n + 1$ à partir de $(4 n - 3) (4 n + 1)$ .

$160 n^{2} - 80 n + 15 = \frac{45 n}{4 n + 1} ((4 n + 1) (4 n - 3))$

Étape 3.3.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$160 n^{2} - 80 n + 15 = \frac{45 n}{4 n + 1} ((4 n + 1) (4 n - 3))$

Étape 3.3.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$160 n^{2} - 80 n + 15 = 45 n (4 n - 3)$

Étape 3.3.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$160 n^{2} - 80 n + 15 = 45 n (4 n) + 45 n \cdot - 3$

Étape 3.3.1.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.1.5.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$160 n^{2} - 80 n + 15 = 45 \cdot 4 n \cdot n + 45 n \cdot - 3$

Étape 3.3.1.5.2

Multipliez $- 3$ par $45$ .

$160 n^{2} - 80 n + 15 = 45 \cdot 4 n \cdot n - 135 n$

Étape 3.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.2.1

Multipliez $n$ par $n$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.2.1.1

Déplacez $n$ .

$160 n^{2} - 80 n + 15 = 45 \cdot 4 (n \cdot n) - 135 n$

Étape 3.3.2.1.2

Multipliez $n$ par $n$ .

$160 n^{2} - 80 n + 15 = 45 \cdot 4 n^{2} - 135 n$

Étape 3.3.2.2

Multipliez $45$ par $4$ .

$160 n^{2} - 80 n + 15 = 180 n^{2} - 135 n$

Étape 4

Résolvez l’équation.

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Étape 4.1

Déplacez tous les termes contenant $n$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 4.1.1

Soustrayez $180 n^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$160 n^{2} - 80 n + 15 - 180 n^{2} = - 135 n$

Étape 4.1.2

Ajoutez $135 n$ aux deux côtés de l’équation.

$160 n^{2} - 80 n + 15 - 180 n^{2} + 135 n = 0$

Étape 4.1.3

Soustrayez $180 n^{2}$ de $160 n^{2}$ .

$- 20 n^{2} - 80 n + 15 + 135 n = 0$

Étape 4.1.4

Additionnez $- 80 n$ et $135 n$ .

$- 20 n^{2} + 55 n + 15 = 0$

Étape 4.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 4.2.1

Factorisez $- 5$ à partir de $- 20 n^{2} + 55 n + 15$ .

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Étape 4.2.1.1

Factorisez $- 5$ à partir de $- 20 n^{2}$ .

$- 5 (4 n^{2}) + 55 n + 15 = 0$

Étape 4.2.1.2

Factorisez $- 5$ à partir de $55 n$ .

$- 5 (4 n^{2}) - 5 (- 11 n) + 15 = 0$

Étape 4.2.1.3

Factorisez $- 5$ à partir de $15$ .

$- 5 (4 n^{2}) - 5 (- 11 n) - 5 \cdot - 3 = 0$

Étape 4.2.1.4

Factorisez $- 5$ à partir de $- 5 (4 n^{2}) - 5 (- 11 n)$ .

$- 5 (4 n^{2} - 11 n) - 5 \cdot - 3 = 0$

Étape 4.2.1.5

Factorisez $- 5$ à partir de $- 5 (4 n^{2} - 11 n) - 5 (- 3)$ .

$- 5 (4 n^{2} - 11 n - 3) = 0$

Étape 4.2.2

Factorisez.

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Étape 4.2.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 4.2.2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 4 \cdot - 3 = - 12$ et dont la somme est $b = - 11$ .

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Étape 4.2.2.1.1.1

Factorisez $- 11$ à partir de $- 11 n$ .

$- 5 (4 n^{2} - 11 n - 3) = 0$

Étape 4.2.2.1.1.2

Réécrivez $- 11$ comme $1$ plus $- 12$

$- 5 (4 n^{2} + (1 - 12) n - 3) = 0$

Étape 4.2.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 5 (4 n^{2} + 1 n - 12 n - 3) = 0$

Étape 4.2.2.1.1.4

Multipliez $n$ par $1$ .

$- 5 (4 n^{2} + n - 12 n - 3) = 0$

Étape 4.2.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 4.2.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$- 5 ((4 n^{2} + n) - 12 n - 3) = 0$

Étape 4.2.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$- 5 (n (4 n + 1) - 3 (4 n + 1)) = 0$

Étape 4.2.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $4 n + 1$ .

$- 5 ((4 n + 1) (n - 3)) = 0$

Étape 4.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- 5 (4 n + 1) (n - 3) = 0$

Étape 4.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$4 n + 1 = 0$

$n - 3 = 0$

Étape 4.4

Définissez $4 n + 1$ égal à $0$ et résolvez $n$ .

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Étape 4.4.1

Définissez $4 n + 1$ égal à $0$ .

$4 n + 1 = 0$

Étape 4.4.2

Résolvez $4 n + 1 = 0$ pour $n$ .

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Étape 4.4.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$4 n = - 1$

Étape 4.4.2.2

Divisez chaque terme dans $4 n = - 1$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 4.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $4 n = - 1$ par $4$ .

$\frac{4 n}{4} = \frac{- 1}{4}$

Étape 4.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 n}{4} = \frac{- 1}{4}$

Étape 4.4.2.2.2.1.2

Divisez $n$ par $1$ .

$n = \frac{- 1}{4}$

Étape 4.4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.4.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$n = - \frac{1}{4}$

Étape 4.5

Définissez $n - 3$ égal à $0$ et résolvez $n$ .

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Étape 4.5.1

Définissez $n - 3$ égal à $0$ .

$n - 3 = 0$

Étape 4.5.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$n = 3$

Étape 4.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- 5 (4 n + 1) (n - 3) = 0$ vraie.

$n = - \frac{1}{4}, 3$

Étape 5

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\frac{1}{1 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 9} + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} = \frac{n}{4 n + 1}$ vrai.

$n = 3$