Mathématiques de base Exemples

$1 + \frac{1}{2^{n}} = \frac{5}{5120}$

Étape 1

Annulez le facteur commun à $5$ et $5120$ .

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Étape 1.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$1 + \frac{1}{2^{n}} = \frac{5 (1)}{5120}$

Étape 1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5120$ .

$1 + \frac{1}{2^{n}} = \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 1024}$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun.

$1 + \frac{1}{2^{n}} = \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 1024}$

Étape 1.2.3

Réécrivez l’expression.

$1 + \frac{1}{2^{n}} = \frac{1}{1024}$

Étape 2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $n$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{1}{2^{n}} = \frac{1}{1024} - 1$

Étape 2.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1024}{1024}$ .

$\frac{1}{2^{n}} = \frac{1}{1024} - 1 \cdot \frac{1024}{1024}$

Étape 2.3

Associez $- 1$ et $\frac{1024}{1024}$ .

$\frac{1}{2^{n}} = \frac{1}{1024} + \frac{- 1 \cdot 1024}{1024}$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2^{n}} = \frac{1 - 1 \cdot 1024}{1024}$

Étape 2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.1

Multipliez $- 1$ par $1024$ .

$\frac{1}{2^{n}} = \frac{1 - 1024}{1024}$

Étape 2.5.2

Soustrayez $1024$ de $1$ .

$\frac{1}{2^{n}} = \frac{- 1023}{1024}$

Étape 2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2^{n}} = - \frac{1023}{1024}$

Étape 3

Multipliez les deux côtés par $2^{n}$ .

$\frac{1}{2^{n}} \cdot 2^{n} = - \frac{1023}{1024} \cdot 2^{n}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.1.1

Annulez le facteur commun de $2^{n}$ .

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Étape 4.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2^{n}} \cdot 2^{n} = - \frac{1023}{1024} \cdot 2^{n}$

Étape 4.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$1 = - \frac{1023}{1024} \cdot 2^{n}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.1

Simplifiez $- \frac{1023}{1024} \cdot 2^{n}$ .

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Étape 4.2.1.1

Associez $2^{n}$ et $\frac{1023}{1024}$ .

$1 = - \frac{2^{n} \cdot 1023}{1024}$

Étape 4.2.1.2

Déplacez $1023$ à gauche de $2^{n}$ .

$1 = - \frac{1023 \cdot 2^{n}}{1024}$

Étape 5

Résolvez $n$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $- \frac{1023 \cdot 2^{n}}{1024} = 1$ .

$- \frac{1023 \cdot 2^{n}}{1024} = 1$

Étape 5.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $- \frac{1024}{1023}$ .

$- \frac{1024}{1023} (- \frac{1023 \cdot 2^{n}}{1024}) = - \frac{1024}{1023} \cdot 1$

Étape 5.3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 5.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.1.1

Simplifiez $- \frac{1024}{1023} (- \frac{1023 \cdot 2^{n}}{1024})$ .

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Étape 5.3.1.1.1

Annulez le facteur commun de $1024$ .

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Étape 5.3.1.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1024}{1023}$ dans le numérateur.

$\frac{- 1024}{1023} (- \frac{1023 \cdot 2^{n}}{1024}) = - \frac{1024}{1023} \cdot 1$

Étape 5.3.1.1.1.2

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1023 \cdot 2^{n}}{1024}$ dans le numérateur.

$\frac{- 1024}{1023} \cdot \frac{- 1023 \cdot 2^{n}}{1024} = - \frac{1024}{1023} \cdot 1$

Étape 5.3.1.1.1.3

Factorisez $1024$ à partir de $- 1024$ .

$\frac{1024 (- 1)}{1023} \cdot \frac{- 1023 \cdot 2^{n}}{1024} = - \frac{1024}{1023} \cdot 1$

Étape 5.3.1.1.1.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{1024 \cdot - 1}{1023} \cdot \frac{- 1023 \cdot 2^{n}}{1024} = - \frac{1024}{1023} \cdot 1$

Étape 5.3.1.1.1.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{1023} (- 1023 \cdot 2^{n}) = - \frac{1024}{1023} \cdot 1$

Étape 5.3.1.1.2

Annulez le facteur commun de $1023$ .

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Étape 5.3.1.1.2.1

Factorisez $1023$ à partir de $- 1023 \cdot 2^{n}$ .

$\frac{- 1}{1023} (1023 (- 2^{n})) = - \frac{1024}{1023} \cdot 1$

Étape 5.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{1023} (1023 (- 2^{n})) = - \frac{1024}{1023} \cdot 1$

Étape 5.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$- - 2^{n} = - \frac{1024}{1023} \cdot 1$

Étape 5.3.1.1.3

Multipliez.

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Étape 5.3.1.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \cdot 2^{n} = - \frac{1024}{1023} \cdot 1$

Étape 5.3.1.1.3.2

Multipliez $2^{n}$ par $1$ .

$2^{n} = - \frac{1024}{1023} \cdot 1$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.2.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2^{n} = - \frac{1024}{1023}$

Étape 5.4

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (2^{n}) = \ln (- \frac{1024}{1023})$

Étape 5.5

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (- \frac{1024}{1023})$ est indéfini.

Indéfini

Étape 5.6

Il n’y a pas de solution pour $2^{n} = - \frac{1024}{1023}$

Aucune solution