Mathématiques de base Exemples

$25000 = 400 (\frac{1 - {(1.0025)}^{- n}}{0.0025}) (1.0025)$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $400 (\frac{1 - {1.0025}^{- n}}{0.0025}) \cdot 1.0025 = 25000$ .

$400 (\frac{1 - {1.0025}^{- n}}{0.0025}) \cdot 1.0025 = 25000$

Étape 2

Simplifiez $400 (\frac{1 - {1.0025}^{- n}}{0.0025}) \cdot 1.0025$ .

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Étape 2.1

Annulez le facteur commun de $0.0025$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $0.0025$ à partir de $400$ .

$0.0025 (160000) \frac{1 - {1.0025}^{- n}}{0.0025} \cdot 1.0025 = 25000$

Étape 2.1.2

Annulez le facteur commun.

$0.0025 \cdot 160000 \frac{1 - {1.0025}^{- n}}{0.0025} \cdot 1.0025 = 25000$

Étape 2.1.3

Réécrivez l’expression.

$160000 (1 - {1.0025}^{- n}) \cdot 1.0025 = 25000$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$(160000 \cdot 1 + 160000 (- {1.0025}^{- n})) \cdot 1.0025 = 25000$

Étape 2.3

Multipliez.

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Étape 2.3.1

Multipliez $160000$ par $1$ .

$(160000 + 160000 (- {1.0025}^{- n})) \cdot 1.0025 = 25000$

Étape 2.3.2

Multipliez $- 1$ par $160000$ .

$(160000 - 160000 \cdot {1.0025}^{- n}) \cdot 1.0025 = 25000$

Étape 2.4

Appliquez la propriété distributive.

$160000 \cdot 1.0025 - 160000 \cdot {1.0025}^{- n} \cdot 1.0025 = 25000$

Étape 2.5

Multipliez $160000$ par $1.0025$ .

$160400 - 160000 \cdot {1.0025}^{- n} \cdot 1.0025 = 25000$

Étape 2.6

Multipliez ${1.0025}^{- n}$ par $1.0025$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.6.1

Déplacez $1.0025$ .

$160400 - 160000 \cdot (1.0025 \cdot {1.0025}^{- n}) = 25000$

Étape 2.6.2

Multipliez $1.0025$ par ${1.0025}^{- n}$ .

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Étape 2.6.2.1

Élevez $1.0025$ à la puissance $1$ .

$160400 - 160000 \cdot ({1.0025}^{1} \cdot {1.0025}^{- n}) = 25000$

Étape 2.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$160400 - 160000 \cdot {1.0025}^{1 - n} = 25000$

Étape 3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $n$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Soustrayez $160400$ des deux côtés de l’équation.

$- 160000 \cdot {1.0025}^{1 - n} = 25000 - 160400$

Étape 3.2

Soustrayez $160400$ de $25000$ .

$- 160000 \cdot {1.0025}^{1 - n} = - 135400$

Étape 4

Divisez chaque terme dans $- 160000 \cdot {1.0025}^{1 - n} = - 135400$ par $- 160000$ et simplifiez.

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Étape 4.1

Divisez chaque terme dans $- 160000 \cdot {1.0025}^{1 - n} = - 135400$ par $- 160000$ .

$\frac{- 160000 \cdot {1.0025}^{1 - n}}{- 160000} = \frac{- 135400}{- 160000}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $- 160000$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 160000 \cdot {1.0025}^{1 - n}}{- 160000} = \frac{- 135400}{- 160000}$

Étape 4.2.1.2

Divisez ${1.0025}^{1 - n}$ par $1$ .

${1.0025}^{1 - n} = \frac{- 135400}{- 160000}$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Annulez le facteur commun à $- 135400$ et $- 160000$ .

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Étape 4.3.1.1

Factorisez $- 200$ à partir de $- 135400$ .

${1.0025}^{1 - n} = \frac{- 200 (677)}{- 160000}$

Étape 4.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.1.2.1

Factorisez $- 200$ à partir de $- 160000$ .

${1.0025}^{1 - n} = \frac{- 200 \cdot 677}{- 200 \cdot 800}$

Étape 4.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

${1.0025}^{1 - n} = \frac{- 200 \cdot 677}{- 200 \cdot 800}$

Étape 4.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

${1.0025}^{1 - n} = \frac{677}{800}$

Étape 5

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln ({1.0025}^{1 - n}) = \ln (\frac{677}{800})$

Étape 6

Développez $\ln ({1.0025}^{1 - n})$ en déplaçant $1 - n$ hors du logarithme.

$(1 - n) \ln (1.0025) = \ln (\frac{677}{800})$

Étape 7

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.1

Simplifiez $(1 - n) \ln (1.0025)$ .

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Étape 7.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 \ln (1.0025) - n \ln (1.0025) = \ln (\frac{677}{800})$

Étape 7.1.2

Multipliez $\ln (1.0025)$ par $1$ .

$\ln (1.0025) - n \ln (1.0025) = \ln (\frac{677}{800})$

Étape 8

Remettez dans l’ordre $\ln (1.0025)$ et $- n \ln (1.0025)$ .

$- n \ln (1.0025) + \ln (1.0025) = \ln (\frac{677}{800})$

Étape 9

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$- n \ln (1.0025) + \ln (1.0025) - \ln (\frac{677}{800}) = 0$

Étape 10

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- n \ln (1.0025) + \ln (\frac{1.0025}{\frac{677}{800}}) = 0$

Étape 11

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- n \ln (1.0025) + \ln (1.0025 (\frac{800}{677})) = 0$

Étape 11.2

Multipliez $1.0025 (\frac{800}{677})$ .

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Étape 11.2.1

Associez $1.0025$ et $\frac{800}{677}$ .

$- n \ln (1.0025) + \ln (\frac{1.0025 \cdot 800}{677}) = 0$

Étape 11.2.2

Multipliez $1.0025$ par $800$ .

$- n \ln (1.0025) + \ln (\frac{802}{677}) = 0$

Étape 11.3

Annulez le facteur commun à $802$ et $677$ .

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Étape 11.3.1

Réécrivez $802$ comme $1 (802)$ .

$- n \ln (1.0025) + \ln (\frac{1 (802)}{677}) = 0$

Étape 11.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.3.2.1

Réécrivez $677$ comme $1 (677)$ .

$- n \ln (1.0025) + \ln (\frac{1 \cdot 802}{1 \cdot 677}) = 0$

Étape 11.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$- n \ln (1.0025) + \ln (\frac{1 \cdot 802}{1 \cdot 677}) = 0$

Étape 11.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$- n \ln (1.0025) + \ln (\frac{802}{677}) = 0$

Étape 12

Soustrayez $\ln (\frac{802}{677})$ des deux côtés de l’équation.

$- n \ln (1.0025) = - \ln (\frac{802}{677})$

Étape 13

Divisez chaque terme dans $- n \ln (1.0025) = - \ln (\frac{802}{677})$ par $- \ln (1.0025)$ et simplifiez.

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Étape 13.1

Divisez chaque terme dans $- n \ln (1.0025) = - \ln (\frac{802}{677})$ par $- \ln (1.0025)$ .

$\frac{- n \ln (1.0025)}{- \ln (1.0025)} = \frac{- \ln (\frac{802}{677})}{- \ln (1.0025)}$

Étape 13.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 13.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{n \ln (1.0025)}{\ln (1.0025)} = \frac{- \ln (\frac{802}{677})}{- \ln (1.0025)}$

Étape 13.2.2

Annulez le facteur commun de $\ln (1.0025)$ .

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Étape 13.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{n \ln (1.0025)}{\ln (1.0025)} = \frac{- \ln (\frac{802}{677})}{- \ln (1.0025)}$

Étape 13.2.2.2

Divisez $n$ par $1$ .

$n = \frac{- \ln (\frac{802}{677})}{- \ln (1.0025)}$

Étape 13.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 13.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$n = \frac{\ln (\frac{802}{677})}{\ln (1.0025)}$

Étape 14

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$n = \frac{\ln (\frac{802}{677})}{\ln (1.0025)}$

Forme décimale :

$n = 67.85961739 \dots$