Mathématiques de base Exemples

$241 \div 4000 = 241 \div 2^{m} \cdot 5^{n}$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $241 \div 2^{m} \cdot 5^{n} = 241 \div 4000$ .

$241 \div 2^{m} \cdot 5^{n} = 241 \div 4000$

Étape 2

Simplifiez $241 \div 2^{m} \cdot 5^{n}$ .

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Étape 2.1

Réécrivez la division comme une fraction.

$\frac{241}{2^{m}} \cdot 5^{n} = 241 \div 4000$

Étape 2.2

Associez $\frac{241}{2^{m}}$ et $5^{n}$ .

$\frac{241 \cdot 5^{n}}{2^{m}} = 241 \div 4000$

Étape 3

Réécrivez la division comme une fraction.

$\frac{241 \cdot 5^{n}}{2^{m}} = \frac{241}{4000}$

Étape 4

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (\frac{241 \cdot 5^{n}}{2^{m}}) = \ln (\frac{241}{4000})$

Étape 5

Développez le côté gauche.

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Étape 5.1

Réécrivez $\ln (\frac{241 \cdot 5^{n}}{2^{m}})$ comme $\ln (241 \cdot 5^{n}) - \ln (2^{m})$ .

$\ln (241 \cdot 5^{n}) - \ln (2^{m}) = \ln (\frac{241}{4000})$

Étape 5.2

Développez $\ln (2^{m})$ en déplaçant $m$ hors du logarithme.

$\ln (241 \cdot 5^{n}) - (m \ln (2)) = \ln (\frac{241}{4000})$

Étape 5.3

Supprimez les parenthèses.

$\ln (241 \cdot 5^{n}) - m \ln (2) = \ln (\frac{241}{4000})$

Étape 5.4

Réécrivez $\ln (241 \cdot 5^{n})$ comme $\ln (241) + \ln (5^{n})$ .

$\ln (241) + \ln (5^{n}) - m \ln (2) = \ln (\frac{241}{4000})$

Étape 5.5

Développez $\ln (5^{n})$ en déplaçant $n$ hors du logarithme.

$\ln (241) + n \ln (5) - m \ln (2) = \ln (\frac{241}{4000})$

Étape 6

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.1

Déplacez $\ln (241)$ .

$n \ln (5) - m \ln (2) + \ln (241) = \ln (\frac{241}{4000})$

Étape 6.2

Remettez dans l’ordre $n \ln (5)$ et $- m \ln (2)$ .

$- m \ln (2) + n \ln (5) + \ln (241) = \ln (\frac{241}{4000})$

Étape 7

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$- m \ln (2) + n \ln (5) + \ln (241) - \ln (\frac{241}{4000}) = 0$

Étape 8

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- m \ln (2) + n \ln (5) + \ln (\frac{241}{\frac{241}{4000}}) = 0$

Étape 9

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- m \ln (2) + n \ln (5) + \ln (241 (\frac{4000}{241})) = 0$

Étape 9.2

Annulez le facteur commun de $241$ .

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Étape 9.2.1

Annulez le facteur commun.

$- m \ln (2) + n \ln (5) + \ln (241 (\frac{4000}{241})) = 0$

Étape 9.2.2

Réécrivez l’expression.

$- m \ln (2) + n \ln (5) + \ln (4000) = 0$

Étape 10

Déplacez tous les termes ne contenant pas $m$ du côté droit de l’équation.

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Étape 10.1

Soustrayez $n \ln (5)$ des deux côtés de l’équation.

$- m \ln (2) + \ln (4000) = - n \ln (5)$

Étape 10.2

Soustrayez $\ln (4000)$ des deux côtés de l’équation.

$- m \ln (2) = - n \ln (5) - \ln (4000)$

Étape 11

Divisez chaque terme dans $- m \ln (2) = - n \ln (5) - \ln (4000)$ par $- \ln (2)$ et simplifiez.

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Étape 11.1

Divisez chaque terme dans $- m \ln (2) = - n \ln (5) - \ln (4000)$ par $- \ln (2)$ .

$\frac{- m \ln (2)}{- \ln (2)} = \frac{- n \ln (5)}{- \ln (2)} + \frac{- \ln (4000)}{- \ln (2)}$

Étape 11.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 11.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{m \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{- n \ln (5)}{- \ln (2)} + \frac{- \ln (4000)}{- \ln (2)}$

Étape 11.2.2

Annulez le facteur commun de $\ln (2)$ .

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Étape 11.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{m \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{- n \ln (5)}{- \ln (2)} + \frac{- \ln (4000)}{- \ln (2)}$

Étape 11.2.2.2

Divisez $m$ par $1$ .

$m = \frac{- n \ln (5)}{- \ln (2)} + \frac{- \ln (4000)}{- \ln (2)}$

Étape 11.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 11.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.3.1.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$m = \frac{n \ln (5)}{\ln (2)} + \frac{- \ln (4000)}{- \ln (2)}$

Étape 11.3.1.2

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$m = \frac{n \ln (5)}{\ln (2)} + \frac{\ln (4000)}{\ln (2)}$