Mathématiques de base Exemples

$\sqrt[4]{4 y^{2} - 3} = - y$

Étape 1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez les deux côtés de l’équation à la puissance $4$ .

${\sqrt[4]{4 y^{2} - 3}}^{4} = {(- y)}^{4}$

Étape 2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[4]{4 y^{2} - 3}$ comme ${(4 y^{2} - 3)}^{\frac{1}{4}}$ .

${({(4 y^{2} - 3)}^{\frac{1}{4}})}^{4} = {(- y)}^{4}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez ${({(4 y^{2} - 3)}^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Étape 2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(4 y^{2} - 3)}^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 y^{2} - 3)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(- y)}^{4}$

Étape 2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(4 y^{2} - 3)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(- y)}^{4}$

Étape 2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(4 y^{2} - 3)}^{1} = {(- y)}^{4}$

Étape 2.2.1.2

Simplifiez

$4 y^{2} - 3 = {(- y)}^{4}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Simplifiez ${(- y)}^{4}$ .

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Étape 2.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $- y$ .

$4 y^{2} - 3 = {(- 1)}^{4} y^{4}$

Étape 2.3.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$4 y^{2} - 3 = 1 y^{4}$

Étape 2.3.1.3

Multipliez $y^{4}$ par $1$ .

$4 y^{2} - 3 = y^{4}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Soustrayez $y^{4}$ des deux côtés de l’équation.

$4 y^{2} - 3 - y^{4} = 0$

Étape 3.2

Remplacez $u = y^{2}$ dans l’équation. Cela facilitera l’utilisation de la formule quadratique.

$- u^{2} + 4 u - 3 = 0$

$u = y^{2}$

Étape 3.3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- u^{2} + 4 u - 3$ .

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Étape 3.3.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- u^{2}$ .

$- (u^{2}) + 4 u - 3 = 0$

Étape 3.3.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $4 u$ .

$- (u^{2}) - (- 4 u) - 3 = 0$

Étape 3.3.1.3

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$- (u^{2}) - (- 4 u) - 1 \cdot 3 = 0$

Étape 3.3.1.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (u^{2}) - (- 4 u)$ .

$- (u^{2} - 4 u) - 1 \cdot 3 = 0$

Étape 3.3.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (u^{2} - 4 u) - 1 (3)$ .

$- (u^{2} - 4 u + 3) = 0$

Étape 3.3.2

Factorisez.

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Étape 3.3.2.1

Factorisez $u^{2} - 4 u + 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.3.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $3$ et dont la somme est $- 4$ .

$- 3, - 1$

Étape 3.3.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- ((u - 3) (u - 1)) = 0$

Étape 3.3.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- (u - 3) (u - 1) = 0$

Étape 3.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$u - 3 = 0$

$u - 1 = 0$

Étape 3.5

Définissez $u - 3$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 3.5.1

Définissez $u - 3$ égal à $0$ .

$u - 3 = 0$

Étape 3.5.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 3$

Étape 3.6

Définissez $u - 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 3.6.1

Définissez $u - 1$ égal à $0$ .

$u - 1 = 0$

Étape 3.6.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 1$

Étape 3.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- (u - 3) (u - 1) = 0$ vraie.

$u = 3, 1$

Étape 3.8

Remplacez à nouveau la valeur réelle de $u = y^{2}$ dans l’équation résolue.

$y^{2} = 3$

${(y^{2})}^{1} = 1$

Étape 3.9

Résolvez la première équation pour $y$ .

$y^{2} = 3$

Étape 3.10

Résolvez l’équation pour $y$ .

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Étape 3.10.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{3}$

Étape 3.10.2

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.10.2.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \sqrt{3}$

Étape 3.10.2.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \sqrt{3}$

Étape 3.10.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Étape 3.11

Résolvez la deuxième équation pour $y$ .

${(y^{2})}^{1} = 1$

Étape 3.12

Résolvez l’équation pour $y$ .

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Étape 3.12.1

Supprimez les parenthèses.

$y^{2} = 1$

Étape 3.12.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{1}$

Étape 3.12.3

Toute racine de $1$ est $1$ .

$y = \pm 1$

Étape 3.12.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.12.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = 1$

Étape 3.12.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - 1$

Étape 3.12.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = 1, - 1$

Étape 3.13

La solution à $- y^{4} + 4 y^{2} - 3 = 0$ est $y = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, 1, - 1$ .

$y = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, 1, - 1$

Étape 4

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\sqrt[4]{4 y^{2} - 3} = - y$ vrai.

$y = - \sqrt{3}, - 1$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$y = - \sqrt{3}, - 1$

Forme décimale :

$y = - 1.73205080 \dots, - 1$