Mathématiques de base Exemples

$y^{\frac{1}{2}} - 7 y^{\frac{1}{4}} + 12 = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Réécrivez $y^{\frac{1}{2}}$ comme ${(y^{\frac{1}{4}})}^{2}$ .

${(y^{\frac{1}{4}})}^{2} - 7 y^{\frac{1}{4}} + 12 = 0$

Étape 1.2

Laissez $u = y^{\frac{1}{4}}$ . Remplacez toutes les occurrences de $y^{\frac{1}{4}}$ par $u$ .

$u^{2} - 7 u + 12 = 0$

Étape 1.3

Factorisez $u^{2} - 7 u + 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $12$ et dont la somme est $- 7$ .

$- 4, - 3$

Étape 1.3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 4) (u - 3) = 0$

Étape 1.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y^{\frac{1}{4}}$ .

$(y^{\frac{1}{4}} - 4) (y^{\frac{1}{4}} - 3) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$y^{\frac{1}{4}} - 4 = 0$

$y^{\frac{1}{4}} - 3 = 0$

Étape 3

Définissez $y^{\frac{1}{4}} - 4$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Définissez $y^{\frac{1}{4}} - 4$ égal à $0$ .

$y^{\frac{1}{4}} - 4 = 0$

Étape 3.2

Résolvez $y^{\frac{1}{4}} - 4 = 0$ pour $y$ .

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Étape 3.2.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$y^{\frac{1}{4}} = 4$

Étape 3.2.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $4$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(y^{\frac{1}{4}})}^{4} = 4^{4}$

Étape 3.2.3

Simplifiez l’exposant.

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Étape 3.2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.3.1.1

Simplifiez ${(y^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Étape 3.2.3.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(y^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Étape 3.2.3.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 4^{4}$

Étape 3.2.3.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.2.3.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 4^{4}$

Étape 3.2.3.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{1} = 4^{4}$

Étape 3.2.3.1.1.2

Simplifiez

$y = 4^{4}$

Étape 3.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.2.1

Élevez $4$ à la puissance $4$ .

$y = 256$

Étape 4

Définissez $y^{\frac{1}{4}} - 3$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 4.1

Définissez $y^{\frac{1}{4}} - 3$ égal à $0$ .

$y^{\frac{1}{4}} - 3 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $y^{\frac{1}{4}} - 3 = 0$ pour $y$ .

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Étape 4.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$y^{\frac{1}{4}} = 3$

Étape 4.2.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $4$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(y^{\frac{1}{4}})}^{4} = 3^{4}$

Étape 4.2.3

Simplifiez l’exposant.

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Étape 4.2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.3.1.1

Simplifiez ${(y^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Étape 4.2.3.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(y^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Étape 4.2.3.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 3^{4}$

Étape 4.2.3.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.2.3.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 3^{4}$

Étape 4.2.3.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{1} = 3^{4}$

Étape 4.2.3.1.1.2

Simplifiez

$y = 3^{4}$

Étape 4.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.3.2.1

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$y = 81$

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(y^{\frac{1}{4}} - 4) (y^{\frac{1}{4}} - 3) = 0$ vraie.

$y = 256, 81$