Mathématiques de base Exemples

$\frac{\sqrt{3^{y} + 3^{y} + 3^{y}}}{\sqrt{6^{y} + 6^{y} + 6^{y}}} = \frac{1}{64}$

Étape 1

Réalisez le produit en croix.

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Étape 1.1

Réalisez un produit en croix en définissant le produit du numérateur du côté droit et du dénominateur du côté gauche égal au produit du numérateur du côté gauche et du dénominateur du côté droit.

$1 \cdot (\sqrt{6^{y} + 6^{y} + 6^{y}}) = \sqrt{3^{y} + 3^{y} + 3^{y}} \cdot (64)$

Étape 1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.1

Simplifiez $1 \cdot (\sqrt{6^{y} + 6^{y} + 6^{y}})$ .

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Étape 1.2.1.1

Multipliez $\sqrt{6^{y} + 6^{y} + 6^{y}}$ par $1$ .

$\sqrt{6^{y} + 6^{y} + 6^{y}} = \sqrt{3^{y} + 3^{y} + 3^{y}} \cdot (64)$

Étape 1.2.1.2

Additionnez $6^{y}$ et $6^{y}$ .

$\sqrt{2 \cdot 6^{y} + 6^{y}} = \sqrt{3^{y} + 3^{y} + 3^{y}} \cdot (64)$

Étape 1.2.1.3

Additionnez $2 \cdot 6^{y}$ et $6^{y}$ .

$\sqrt{3 \cdot 6^{y}} = \sqrt{3^{y} + 3^{y} + 3^{y}} \cdot (64)$

Étape 1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.1

Simplifiez $\sqrt{3^{y} + 3^{y} + 3^{y}} \cdot (64)$ .

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Étape 1.3.1.1

Additionnez $3^{y}$ et $3^{y}$ .

$\sqrt{3 \cdot 6^{y}} = \sqrt{2 \cdot 3^{y} + 3^{y}} \cdot 64$

Étape 1.3.1.2

Additionnez $2 \cdot 3^{y}$ et $3^{y}$ .

$\sqrt{3 \cdot 6^{y}} = \sqrt{3 \cdot 3^{y}} \cdot 64$

Étape 1.3.1.3

Multipliez $3$ par $3^{y}$ .

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Étape 1.3.1.3.1

Élevez $3$ à la puissance $1$ .

$\sqrt{3 \cdot 6^{y}} = \sqrt{3^{1} \cdot 3^{y}} \cdot 64$

Étape 1.3.1.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sqrt{3 \cdot 6^{y}} = \sqrt{3^{1 + y}} \cdot 64$

Étape 1.3.1.4

Déplacez $64$ à gauche de $\sqrt{3^{1 + y}}$ .

$\sqrt{3 \cdot 6^{y}} = 64 \sqrt{3^{1 + y}}$

Étape 2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{3 \cdot 6^{y}}}^{2} = {(64 \sqrt{3^{1 + y}})}^{2}$

Étape 3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3 \cdot 6^{y}}$ comme ${(3 \cdot 6^{y})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(3 \cdot 6^{y})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(64 \sqrt{3^{1 + y}})}^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez ${({(3 \cdot 6^{y})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(3 \cdot 6^{y})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 \cdot 6^{y})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(64 \sqrt{3^{1 + y}})}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(3 \cdot 6^{y})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(64 \sqrt{3^{1 + y}})}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(3 \cdot 6^{y})}^{1} = {(64 \sqrt{3^{1 + y}})}^{2}$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez

$3 \cdot 6^{y} = {(64 \sqrt{3^{1 + y}})}^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Simplifiez ${(64 \sqrt{3^{1 + y}})}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $64 \sqrt{3^{1 + y}}$ .

$3 \cdot 6^{y} = 64^{2} {\sqrt{3^{1 + y}}}^{2}$

Étape 3.3.1.1.2

Élevez $64$ à la puissance $2$ .

$3 \cdot 6^{y} = 4096 {\sqrt{3^{1 + y}}}^{2}$

Étape 3.3.1.2

Réécrivez ${\sqrt{3^{1 + y}}}^{2}$ comme $3^{1 + y}$ .

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Étape 3.3.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3^{1 + y}}$ comme $3^{\frac{1 + y}{2}}$ .

$3 \cdot 6^{y} = 4096 {(3^{\frac{1 + y}{2}})}^{2}$

Étape 3.3.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \cdot 6^{y} = 4096 \cdot 3^{\frac{1 + y}{2} \cdot 2}$

Étape 3.3.1.2.3

Associez $\frac{1 + y}{2}$ et $2$ .

$3 \cdot 6^{y} = 4096 \cdot 3^{\frac{(1 + y) \cdot 2}{2}}$

Étape 3.3.1.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$3 \cdot 6^{y} = 4096 \cdot 3^{\frac{(1 + y) \cdot 2}{2}}$

Étape 3.3.1.2.4.2

Divisez $1 + y$ par $1$ .

$3 \cdot 6^{y} = 4096 \cdot 3^{1 + y}$

Étape 4

Résolvez $y$ .

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Étape 4.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (3 \cdot 6^{y}) = \ln (4096 \cdot 3^{1 + y})$

Étape 4.2

Développez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Réécrivez $\ln (3 \cdot 6^{y})$ comme $\ln (3) + \ln (6^{y})$ .

$\ln (3) + \ln (6^{y}) = \ln (4096 \cdot 3^{1 + y})$

Étape 4.2.2

Développez $\ln (6^{y})$ en déplaçant $y$ hors du logarithme.

$\ln (3) + y \ln (6) = \ln (4096 \cdot 3^{1 + y})$

Étape 4.3

Développez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Réécrivez $\ln (4096 \cdot 3^{1 + y})$ comme $\ln (4096) + \ln (3^{1 + y})$ .

$\ln (3) + y \ln (6) = \ln (4096) + \ln (3^{1 + y})$

Étape 4.3.2

Développez $\ln (3^{1 + y})$ en déplaçant $1 + y$ hors du logarithme.

$\ln (3) + y \ln (6) = \ln (4096) + (1 + y) \ln (3)$

Étape 4.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.4.1

Simplifiez $\ln (4096) + (1 + y) \ln (3)$ .

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Étape 4.4.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.4.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (3) + y \ln (6) = \ln (4096) + 1 \ln (3) + y \ln (3)$

Étape 4.4.1.1.2

Multipliez $\ln (3)$ par $1$ .

$\ln (3) + y \ln (6) = \ln (4096) + \ln (3) + y \ln (3)$

Étape 4.4.1.2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (3) + y \ln (6) = \ln (4096 \cdot 3) + y \ln (3)$

Étape 4.4.1.3

Multipliez $4096$ par $3$ .

$\ln (3) + y \ln (6) = \ln (12288) + y \ln (3)$

Étape 4.5

Remettez dans l’ordre $\ln (3)$ et $y \ln (6)$ .

$y \ln (6) + \ln (3) = \ln (12288) + y \ln (3)$

Étape 4.6

Remettez dans l’ordre $\ln (12288)$ et $y \ln (3)$ .

$y \ln (6) + \ln (3) = y \ln (3) + \ln (12288)$

Étape 4.7

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$y \ln (6) + \ln (3) - y \ln (3) - \ln (12288) = 0$

Étape 4.8

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$y \ln (6) - y \ln (3) + \ln (\frac{3}{12288}) = 0$

Étape 4.9

Annulez le facteur commun à $3$ et $12288$ .

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Étape 4.9.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$y \ln (6) - y \ln (3) + \ln (\frac{3 (1)}{12288}) = 0$

Étape 4.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.9.2.1

Factorisez $3$ à partir de $12288$ .

$y \ln (6) - y \ln (3) + \ln (\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 4096}) = 0$

Étape 4.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$y \ln (6) - y \ln (3) + \ln (\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 4096}) = 0$

Étape 4.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$y \ln (6) - y \ln (3) + \ln (\frac{1}{4096}) = 0$

Étape 4.10

Soustrayez $\ln (\frac{1}{4096})$ des deux côtés de l’équation.

$y \ln (6) - y \ln (3) = - \ln (\frac{1}{4096})$

Étape 4.11

Factorisez $y$ à partir de $y \ln (6) - y \ln (3)$ .

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Étape 4.11.1

Factorisez $y$ à partir de $y \ln (6)$ .

$y (\ln (6)) - y \ln (3) = - \ln (\frac{1}{4096})$

Étape 4.11.2

Factorisez $y$ à partir de $- y \ln (3)$ .

$y (\ln (6)) + y (- 1 \ln (3)) = - \ln (\frac{1}{4096})$

Étape 4.11.3

Factorisez $y$ à partir de $y (\ln (6)) + y (- 1 \ln (3))$ .

$y (\ln (6) - 1 \ln (3)) = - \ln (\frac{1}{4096})$

Étape 4.12

Réécrivez $- 1 \ln (3)$ comme $- \ln (3)$ .

$y (\ln (6) - \ln (3)) = - \ln (\frac{1}{4096})$

Étape 4.13

Divisez chaque terme dans $y (\ln (6) - \ln (3)) = - \ln (\frac{1}{4096})$ par $\ln (6) - \ln (3)$ et simplifiez.

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Étape 4.13.1

Divisez chaque terme dans $y (\ln (6) - \ln (3)) = - \ln (\frac{1}{4096})$ par $\ln (6) - \ln (3)$ .

$\frac{y (\ln (6) - \ln (3))}{\ln (6) - \ln (3)} = \frac{- \ln (\frac{1}{4096})}{\ln (6) - \ln (3)}$

Étape 4.13.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.13.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (6) - \ln (3)$ .

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Étape 4.13.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (\ln (6) - \ln (3))}{\ln (6) - \ln (3)} = \frac{- \ln (\frac{1}{4096})}{\ln (6) - \ln (3)}$

Étape 4.13.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- \ln (\frac{1}{4096})}{\ln (6) - \ln (3)}$

Étape 4.13.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.13.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{\ln (\frac{1}{4096})}{\ln (6) - \ln (3)}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$y = - \frac{\ln (\frac{1}{4096})}{\ln (6) - \ln (3)}$

Forme décimale :

$y = 12$