Mathématiques de base Exemples

$\frac{3}{6} y^{2} - \frac{2}{6} y + \frac{4}{6} = 0$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Annulez le facteur commun à $3$ et $6$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 (1)}{6} y^{2} - \frac{2}{6} y + \frac{4}{6} = 0$

Étape 1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2} y^{2} - \frac{2}{6} y + \frac{4}{6} = 0$

Étape 1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2} y^{2} - \frac{2}{6} y + \frac{4}{6} = 0$

Étape 1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} y^{2} - \frac{2}{6} y + \frac{4}{6} = 0$

Étape 1.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} - \frac{2}{6} y + \frac{4}{6} = 0$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun à $2$ et $6$ .

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Étape 1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{y^{2}}{2} - \frac{2 (1)}{6} y + \frac{4}{6} = 0$

Étape 1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{y^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} y + \frac{4}{6} = 0$

Étape 1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} y + \frac{4}{6} = 0$

Étape 1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{y^{2}}{2} - \frac{1}{3} y + \frac{4}{6} = 0$

Étape 1.4

Associez $y$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{y^{2}}{2} - \frac{y}{3} + \frac{4}{6} = 0$

Étape 1.5

Annulez le facteur commun à $4$ et $6$ .

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Étape 1.5.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{y^{2}}{2} - \frac{y}{3} + \frac{2 (2)}{6} = 0$

Étape 1.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{y^{2}}{2} - \frac{y}{3} + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3} = 0$

Étape 1.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{2}}{2} - \frac{y}{3} + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3} = 0$

Étape 1.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{y^{2}}{2} - \frac{y}{3} + \frac{2}{3} = 0$

Étape 2

Multipliez par le plus petit dénominateur commun $6$ , puis simplifiez.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$6 (\frac{y^{2}}{2}) + 6 (- \frac{y}{3}) + 6 (\frac{2}{3}) = 0$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$2 (3) (\frac{y^{2}}{2}) + 6 (- \frac{y}{3}) + 6 (\frac{2}{3}) = 0$

Étape 2.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot (3 (\frac{y^{2}}{2})) + 6 (- \frac{y}{3}) + 6 (\frac{2}{3}) = 0$

Étape 2.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$3 y^{2} + 6 (- \frac{y}{3}) + 6 (\frac{2}{3}) = 0$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.2.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{y}{3}$ dans le numérateur.

$3 y^{2} + 6 (\frac{- y}{3}) + 6 (\frac{2}{3}) = 0$

Étape 2.2.2.2

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$3 y^{2} + 3 (2) (\frac{- y}{3}) + 6 (\frac{2}{3}) = 0$

Étape 2.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$3 y^{2} + 3 \cdot (2 (\frac{- y}{3})) + 6 (\frac{2}{3}) = 0$

Étape 2.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$3 y^{2} + 2 (- y) + 6 (\frac{2}{3}) = 0$

Étape 2.2.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$3 y^{2} - 2 y + 6 (\frac{2}{3}) = 0$

Étape 2.2.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.2.4.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$3 y^{2} - 2 y + 3 (2) (\frac{2}{3}) = 0$

Étape 2.2.4.2

Annulez le facteur commun.

$3 y^{2} - 2 y + 3 \cdot (2 (\frac{2}{3})) = 0$

Étape 2.2.4.3

Réécrivez l’expression.

$3 y^{2} - 2 y + 2 \cdot 2 = 0$

Étape 2.2.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$3 y^{2} - 2 y + 4 = 0$

Étape 3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4

Remplacez les valeurs $a = 3$ , $b = - 2$ et $c = 4$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 4)}}{2 \cdot 3}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot 4}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot 4$ .

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Étape 5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot 4}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 48}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.1.3

Soustrayez $48$ de $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- 44}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.1.4

Réécrivez $- 44$ comme $- 1 (44)$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 44}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (44)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{44}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{44}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$y = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{44}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.1.7

Réécrivez $44$ comme $2^{2} \cdot 11$ .

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Étape 5.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $44$ .

$y = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (11)}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 11}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{11})}{2 \cdot 3}$

Étape 5.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$y = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{11}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$y = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{11}}{6}$

Étape 5.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{11}}{6}$ .

$y = \frac{1 \pm i \sqrt{11}}{3}$

Étape 6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = \frac{1 + i \sqrt{11}}{3}, \frac{1 - i \sqrt{11}}{3}$