Mathématiques de base Exemples

${(\frac{- 2 y + 12}{3})}^{2} - y + 2 y^{2} = 12$

Étape 1

Simplifiez ${(\frac{- 2 y + 12}{3})}^{2} - y + 2 y^{2}$ .

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Étape 1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 y + 12$ .

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Étape 1.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 y$ .

${(\frac{2 (- y) + 12}{3})}^{2} - y + 2 y^{2} = 12$

Étape 1.1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

${(\frac{2 (- y) + 2 (6)}{3})}^{2} - y + 2 y^{2} = 12$

Étape 1.1.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- y) + 2 (6)$ .

${(\frac{2 (- y + 6)}{3})}^{2} - y + 2 y^{2} = 12$

Étape 1.1.2

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 1.1.2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{2 (- y + 6)}{3}$ .

$\frac{{(2 (- y + 6))}^{2}}{3^{2}} - y + 2 y^{2} = 12$

Étape 1.1.2.2

Appliquez la règle de produit à $2 (- y + 6)$ .

$\frac{2^{2} {(- y + 6)}^{2}}{3^{2}} - y + 2 y^{2} = 12$

Étape 1.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{4 {(- y + 6)}^{2}}{3^{2}} - y + 2 y^{2} = 12$

Étape 1.1.4

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{4 {(- y + 6)}^{2}}{9} - y + 2 y^{2} = 12$

Étape 1.2

Pour écrire $- y$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{9}{9}$ .

$\frac{4 {(- y + 6)}^{2}}{9} - y \cdot \frac{9}{9} + 2 y^{2} = 12$

Étape 1.3

Associez $- y$ et $\frac{9}{9}$ .

$\frac{4 {(- y + 6)}^{2}}{9} + \frac{- y \cdot 9}{9} + 2 y^{2} = 12$

Étape 1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 {(- y + 6)}^{2} - y \cdot 9}{9} + 2 y^{2} = 12$

Étape 1.5

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$\frac{4 {(- y + 6)}^{2} - 9 y}{9} + 2 y^{2} = 12$

Étape 2

Multiplier chaque terme dans $\frac{4 {(- y + 6)}^{2} - 9 y}{9} + 2 y^{2} = 12$ par $9$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{4 {(- y + 6)}^{2} - 9 y}{9} + 2 y^{2} = 12$ par $9$ .

$\frac{4 {(- y + 6)}^{2} - 9 y}{9} \cdot 9 + 2 y^{2} \cdot 9 = 12 \cdot 9$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 {(- y + 6)}^{2} - 9 y}{9} \cdot 9 + 2 y^{2} \cdot 9 = 12 \cdot 9$

Étape 2.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$4 {(- y + 6)}^{2} - 9 y + 2 y^{2} \cdot 9 = 12 \cdot 9$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $9$ par $2$ .

$4 {(- y + 6)}^{2} - 9 y + 18 y^{2} = 12 \cdot 9$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Multipliez $12$ par $9$ .

$4 {(- y + 6)}^{2} - 9 y + 18 y^{2} = 108$

Étape 3

Soustrayez $108$ des deux côtés de l’équation.

$4 {(- y + 6)}^{2} - 9 y + 18 y^{2} - 108 = 0$

Étape 4

Simplifiez $4 {(- y + 6)}^{2} - 9 y + 18 y^{2} - 108$ .

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Réécrivez ${(- y + 6)}^{2}$ comme $(- y + 6) (- y + 6)$ .

$4 ((- y + 6) (- y + 6)) - 9 y + 18 y^{2} - 108 = 0$

Étape 4.1.2

Développez $(- y + 6) (- y + 6)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 (- y (- y + 6) + 6 (- y + 6)) - 9 y + 18 y^{2} - 108 = 0$

Étape 4.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 (- y (- y) - y \cdot 6 + 6 (- y + 6)) - 9 y + 18 y^{2} - 108 = 0$

Étape 4.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 (- y (- y) - y \cdot 6 + 6 (- y) + 6 \cdot 6) - 9 y + 18 y^{2} - 108 = 0$

Étape 4.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 (- 1 \cdot - 1 y \cdot y - y \cdot 6 + 6 (- y) + 6 \cdot 6) - 9 y + 18 y^{2} - 108 = 0$

Étape 4.1.3.1.2

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.3.1.2.1

Déplacez $y$ .

$4 (- 1 \cdot - 1 (y \cdot y) - y \cdot 6 + 6 (- y) + 6 \cdot 6) - 9 y + 18 y^{2} - 108 = 0$

Étape 4.1.3.1.2.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$4 (- 1 \cdot - 1 y^{2} - y \cdot 6 + 6 (- y) + 6 \cdot 6) - 9 y + 18 y^{2} - 108 = 0$

Étape 4.1.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$4 (1 y^{2} - y \cdot 6 + 6 (- y) + 6 \cdot 6) - 9 y + 18 y^{2} - 108 = 0$

Étape 4.1.3.1.4

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$4 (y^{2} - y \cdot 6 + 6 (- y) + 6 \cdot 6) - 9 y + 18 y^{2} - 108 = 0$

Étape 4.1.3.1.5

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$4 (y^{2} - 6 y + 6 (- y) + 6 \cdot 6) - 9 y + 18 y^{2} - 108 = 0$

Étape 4.1.3.1.6

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$4 (y^{2} - 6 y - 6 y + 6 \cdot 6) - 9 y + 18 y^{2} - 108 = 0$

Étape 4.1.3.1.7

Multipliez $6$ par $6$ .

$4 (y^{2} - 6 y - 6 y + 36) - 9 y + 18 y^{2} - 108 = 0$

Étape 4.1.3.2

Soustrayez $6 y$ de $- 6 y$ .

$4 (y^{2} - 12 y + 36) - 9 y + 18 y^{2} - 108 = 0$

Étape 4.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$4 y^{2} + 4 (- 12 y) + 4 \cdot 36 - 9 y + 18 y^{2} - 108 = 0$

Étape 4.1.5

Simplifiez

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Étape 4.1.5.1

Multipliez $- 12$ par $4$ .

$4 y^{2} - 48 y + 4 \cdot 36 - 9 y + 18 y^{2} - 108 = 0$

Étape 4.1.5.2

Multipliez $4$ par $36$ .

$4 y^{2} - 48 y + 144 - 9 y + 18 y^{2} - 108 = 0$

Étape 4.2

Additionnez $4 y^{2}$ et $18 y^{2}$ .

$22 y^{2} - 48 y + 144 - 9 y - 108 = 0$

Étape 4.3

Soustrayez $9 y$ de $- 48 y$ .

$22 y^{2} - 57 y + 144 - 108 = 0$

Étape 4.4

Soustrayez $108$ de $144$ .

$22 y^{2} - 57 y + 36 = 0$

Étape 5

Factorisez par regroupement.

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Étape 5.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 22 \cdot 36 = 792$ et dont la somme est $b = - 57$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $- 57$ à partir de $- 57 y$ .

$22 y^{2} - 57 y + 36 = 0$

Étape 5.1.2

Réécrivez $- 57$ comme $- 24$ plus $- 33$

$22 y^{2} + (- 24 - 33) y + 36 = 0$

Étape 5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$22 y^{2} - 24 y - 33 y + 36 = 0$

Étape 5.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 5.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(22 y^{2} - 24 y) - 33 y + 36 = 0$

Étape 5.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$2 y (11 y - 12) - 3 (11 y - 12) = 0$

Étape 5.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $11 y - 12$ .

$(11 y - 12) (2 y - 3) = 0$

Étape 6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$11 y - 12 = 0$

$2 y - 3 = 0$

Étape 7

Définissez $11 y - 12$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 7.1

Définissez $11 y - 12$ égal à $0$ .

$11 y - 12 = 0$

Étape 7.2

Résolvez $11 y - 12 = 0$ pour $y$ .

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Étape 7.2.1

Ajoutez $12$ aux deux côtés de l’équation.

$11 y = 12$

Étape 7.2.2

Divisez chaque terme dans $11 y = 12$ par $11$ et simplifiez.

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Étape 7.2.2.1

Divisez chaque terme dans $11 y = 12$ par $11$ .

$\frac{11 y}{11} = \frac{12}{11}$

Étape 7.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $11$ .

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Étape 7.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{11 y}{11} = \frac{12}{11}$

Étape 7.2.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{12}{11}$

Étape 8

Définissez $2 y - 3$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 8.1

Définissez $2 y - 3$ égal à $0$ .

$2 y - 3 = 0$

Étape 8.2

Résolvez $2 y - 3 = 0$ pour $y$ .

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Étape 8.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$2 y = 3$

Étape 8.2.2

Divisez chaque terme dans $2 y = 3$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 8.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 y = 3$ par $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{3}{2}$

Étape 8.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y}{2} = \frac{3}{2}$

Étape 8.2.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{3}{2}$

Étape 9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(11 y - 12) (2 y - 3) = 0$ vraie.

$y = \frac{12}{11}, \frac{3}{2}$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$y = \frac{12}{11}, \frac{3}{2}$

Forme décimale :

$y = 1.\overline{09}, 1.5$

Forme de nombre mixte :

$y = 1 \frac{1}{11}, 1 \frac{1}{2}$