Mathématiques de base Exemples

$(2 y + 1) (y - 1) = (y + 5 (2 y - 5))$

Étape 1

Simplifiez $(2 y + 1) (y - 1)$ .

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Étape 1.1

Réécrivez.

$0 + 0 + (2 y + 1) (y - 1) = y + 5 (2 y - 5)$

Étape 1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$(2 y + 1) (y - 1) = y + 5 (2 y - 5)$

Étape 1.3

Développez $(2 y + 1) (y - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 y (y - 1) + 1 (y - 1) = y + 5 (2 y - 5)$

Étape 1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 y \cdot y + 2 y \cdot - 1 + 1 (y - 1) = y + 5 (2 y - 5)$

Étape 1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 y \cdot y + 2 y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1 = y + 5 (2 y - 5)$

Étape 1.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.1

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.4.1.1.1

Déplacez $y$ .

$2 (y \cdot y) + 2 y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1 = y + 5 (2 y - 5)$

Étape 1.4.1.1.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$2 y^{2} + 2 y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1 = y + 5 (2 y - 5)$

Étape 1.4.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$2 y^{2} - 2 y + 1 y + 1 \cdot - 1 = y + 5 (2 y - 5)$

Étape 1.4.1.3

Multipliez $y$ par $1$ .

$2 y^{2} - 2 y + y + 1 \cdot - 1 = y + 5 (2 y - 5)$

Étape 1.4.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 y^{2} - 2 y + y - 1 = y + 5 (2 y - 5)$

Étape 1.4.2

Additionnez $- 2 y$ et $y$ .

$2 y^{2} - y - 1 = y + 5 (2 y - 5)$

Étape 2

Simplifiez $y + 5 (2 y - 5)$ .

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 y^{2} - y - 1 = y + 5 (2 y) + 5 \cdot - 5$

Étape 2.1.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$2 y^{2} - y - 1 = y + 10 y + 5 \cdot - 5$

Étape 2.1.3

Multipliez $5$ par $- 5$ .

$2 y^{2} - y - 1 = y + 10 y - 25$

Étape 2.2

Additionnez $y$ et $10 y$ .

$2 y^{2} - y - 1 = 11 y - 25$

Étape 3

Déplacez tous les termes contenant $y$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1

Soustrayez $11 y$ des deux côtés de l’équation.

$2 y^{2} - y - 1 - 11 y = - 25$

Étape 3.2

Soustrayez $11 y$ de $- y$ .

$2 y^{2} - 12 y - 1 = - 25$

Étape 4

Ajoutez $25$ aux deux côtés de l’équation.

$2 y^{2} - 12 y - 1 + 25 = 0$

Étape 5

Additionnez $- 1$ et $25$ .

$2 y^{2} - 12 y + 24 = 0$

Étape 6

Factorisez $2$ à partir de $2 y^{2} - 12 y + 24$ .

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Étape 6.1

Factorisez $2$ à partir de $2 y^{2}$ .

$2 (y^{2}) - 12 y + 24 = 0$

Étape 6.2

Factorisez $2$ à partir de $- 12 y$ .

$2 (y^{2}) + 2 (- 6 y) + 24 = 0$

Étape 6.3

Factorisez $2$ à partir de $24$ .

$2 y^{2} + 2 (- 6 y) + 2 \cdot 12 = 0$

Étape 6.4

Factorisez $2$ à partir de $2 y^{2} + 2 (- 6 y)$ .

$2 (y^{2} - 6 y) + 2 \cdot 12 = 0$

Étape 6.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (y^{2} - 6 y) + 2 \cdot 12$ .

$2 (y^{2} - 6 y + 12) = 0$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $2 (y^{2} - 6 y + 12) = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $2 (y^{2} - 6 y + 12) = 0$ par $2$ .

$\frac{2 (y^{2} - 6 y + 12)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (y^{2} - 6 y + 12)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 7.2.1.2

Divisez $y^{2} - 6 y + 12$ par $1$ .

$y^{2} - 6 y + 12 = \frac{0}{2}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$y^{2} - 6 y + 12 = 0$

Étape 8

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 9

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 6$ et $c = 12$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 12)}}{2 \cdot 1}$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 12$ .

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Étape 10.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $12$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 48}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.1.3

Soustrayez $48$ de $36$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.1.4

Réécrivez $- 12$ comme $- 1 (12)$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (12)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$y = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.1.7

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 10.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$y = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{6 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 10.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$y = \frac{6 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{6 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 10.3

Simplifiez $\frac{6 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$y = 3 \pm i \sqrt{3}$

Étape 11

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = 3 + i \sqrt{3}, 3 - i \sqrt{3}$