Mathématiques de base Exemples

$\frac{1}{2} y^{2} - y + 5 = 0$

Étape 1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} - y + 5 = 0$

Étape 2

Multipliez par le plus petit dénominateur commun $2$ , puis simplifiez.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- y) + 2 \cdot 5 = 0$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- y) + 2 \cdot 5 = 0$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} + 2 (- y) + 2 \cdot 5 = 0$

Étape 2.2.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$y^{2} - 2 y + 2 \cdot 5 = 0$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $5$ .

$y^{2} - 2 y + 10 = 0$

Étape 3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 2$ et $c = 10$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 10)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 10$ .

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Étape 5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $10$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 40}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.3

Soustrayez $40$ de $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- 36}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.4

Réécrivez $- 36$ comme $- 1 (36)$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (36)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$y = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{36}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.7

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{6^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$y = \frac{2 \pm i \cdot 6}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.9

Déplacez $6$ à gauche de $i$ .

$y = \frac{2 \pm 6 i}{2 \cdot 1}$

Étape 5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{2 \pm 6 i}{2}$

Étape 5.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 6 i}{2}$ .

$y = 1 \pm 3 i$

Étape 6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = 1 + 3 i, 1 - 3 i$