Mathématiques de base Exemples

$| y - 1 | = \frac{2}{y}$

Étape 1

Multipliez les deux côtés par $y$ .

$| y - 1 | y = \frac{2}{y} y$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $| y - 1 | y$ .

$y | y - 1 | = \frac{2}{y} y$

Étape 2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$y | y - 1 | = \frac{2}{y} y$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$y | y - 1 | = 2$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $y | y - 1 | = 2$ par $y$ et simplifiez.

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Étape 3.1.1

Divisez chaque terme dans $y | y - 1 | = 2$ par $y$ .

$\frac{y | y - 1 |}{y} = \frac{2}{y}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y | y - 1 |}{y} = \frac{2}{y}$

Étape 3.1.2.1.2

Divisez $| y - 1 |$ par $1$ .

$| y - 1 | = \frac{2}{y}$

Étape 3.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y - 1 = \pm \frac{2}{y}$

Étape 3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y - 1 = \frac{2}{y}$

Étape 3.3.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \frac{2}{y} + 1$

Étape 3.3.3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.3.3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, y, 1$

Étape 3.3.3.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$y$

Étape 3.3.4

Multiplier chaque terme dans $y = \frac{2}{y} + 1$ par $y$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.3.4.1

Multipliez chaque terme dans $y = \frac{2}{y} + 1$ par $y$ .

$y \cdot y = \frac{2}{y} y + 1 y$

Étape 3.3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.4.2.1

Multipliez $y$ par $y$ .

$y^{2} = \frac{2}{y} y + 1 y$

Étape 3.3.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.4.3.1.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 3.3.4.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$y^{2} = \frac{2}{y} y + 1 y$

Étape 3.3.4.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = 2 + 1 y$

Étape 3.3.4.3.1.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$y^{2} = 2 + y$

Étape 3.3.5

Résolvez l’équation.

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Étape 3.3.5.1

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$y^{2} - y = 2$

Étape 3.3.5.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$y^{2} - y - 2 = 0$

Étape 3.3.5.3

Factorisez $y^{2} - y - 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.3.5.3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 2$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 2, 1$

Étape 3.3.5.3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(y - 2) (y + 1) = 0$

Étape 3.3.5.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$y - 2 = 0$

$y + 1 = 0$

Étape 3.3.5.5

Définissez $y - 2$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 3.3.5.5.1

Définissez $y - 2$ égal à $0$ .

$y - 2 = 0$

Étape 3.3.5.5.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 2$

Étape 3.3.5.6

Définissez $y + 1$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 3.3.5.6.1

Définissez $y + 1$ égal à $0$ .

$y + 1 = 0$

Étape 3.3.5.6.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$y = - 1$

Étape 3.3.5.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(y - 2) (y + 1) = 0$ vraie.

$y = 2, - 1$

Étape 3.3.6

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y - 1 = - \frac{2}{y}$

Étape 3.3.7

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - \frac{2}{y} + 1$

Étape 3.3.8

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.3.8.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, y, 1$

Étape 3.3.8.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$y$

Étape 3.3.9

Multiplier chaque terme dans $y = - \frac{2}{y} + 1$ par $y$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.3.9.1

Multipliez chaque terme dans $y = - \frac{2}{y} + 1$ par $y$ .

$y \cdot y = - \frac{2}{y} y + 1 y$

Étape 3.3.9.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.9.2.1

Multipliez $y$ par $y$ .

$y^{2} = - \frac{2}{y} y + 1 y$

Étape 3.3.9.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.9.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.9.3.1.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 3.3.9.3.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2}{y}$ dans le numérateur.

$y^{2} = \frac{- 2}{y} y + 1 y$

Étape 3.3.9.3.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$y^{2} = \frac{- 2}{y} y + 1 y$

Étape 3.3.9.3.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = - 2 + 1 y$

Étape 3.3.9.3.1.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$y^{2} = - 2 + y$

Étape 3.3.10

Résolvez l’équation.

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Étape 3.3.10.1

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$y^{2} - y = - 2$

Étape 3.3.10.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$y^{2} - y + 2 = 0$

Étape 3.3.10.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.3.10.4

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 1$ et $c = 2$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3.10.5

Simplifiez

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Étape 3.3.10.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.10.5.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3.10.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Étape 3.3.10.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3.10.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3.10.5.1.3

Soustrayez $8$ de $1$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3.10.5.1.4

Réécrivez $- 7$ comme $- 1 (7)$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3.10.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (7)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3.10.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$y = \frac{1 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3.10.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{1 \pm i \sqrt{7}}{2}$

Étape 3.3.10.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = \frac{1 + i \sqrt{7}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{7}}{2}$

Étape 3.3.11

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = 2, - 1, \frac{1 + i \sqrt{7}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{7}}{2}$