Mathématiques de base Exemples

$t + \frac{4}{t - 2} = \frac{1}{4}$

Étape 1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, t - 2, 4$

Étape 1.2

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 1.3

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 1.4

$4$ a des facteurs de $2$ et $2$ .

$2 \cdot 2$

Étape 1.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$4$

Étape 1.6

Le facteur pour $t - 2$ est $t - 2$ lui-même.

$(t - 2) = t - 2$

$(t - 2)$ se produit $1$ fois.

Étape 1.7

Le plus petit multiple commun de $t - 2$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$t - 2$

Étape 1.8

Le plus petit multiple commun $LCM$ de certains nombres est le plus petit nombre dont les nombres sont des facteurs.

$4 (t - 2)$

Étape 2

Multiplier chaque terme dans $t + \frac{4}{t - 2} = \frac{1}{4}$ par $4 (t - 2)$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme dans $t + \frac{4}{t - 2} = \frac{1}{4}$ par $4 (t - 2)$ .

$t (4 (t - 2)) + \frac{4}{t - 2} (4 (t - 2)) = \frac{1}{4} (4 (t - 2))$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 t (t - 2) + \frac{4}{t - 2} (4 (t - 2)) = \frac{1}{4} (4 (t - 2))$

Étape 2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 t \cdot t + 4 t \cdot - 2 + \frac{4}{t - 2} (4 (t - 2)) = \frac{1}{4} (4 (t - 2))$

Étape 2.2.1.3

Multipliez $t$ par $t$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.1.3.1

Déplacez $t$ .

$4 (t \cdot t) + 4 t \cdot - 2 + \frac{4}{t - 2} (4 (t - 2)) = \frac{1}{4} (4 (t - 2))$

Étape 2.2.1.3.2

Multipliez $t$ par $t$ .

$4 t^{2} + 4 t \cdot - 2 + \frac{4}{t - 2} (4 (t - 2)) = \frac{1}{4} (4 (t - 2))$

Étape 2.2.1.4

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$4 t^{2} - 8 t + \frac{4}{t - 2} (4 (t - 2)) = \frac{1}{4} (4 (t - 2))$

Étape 2.2.1.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 t^{2} - 8 t + 4 \frac{4}{t - 2} (t - 2) = \frac{1}{4} (4 (t - 2))$

Étape 2.2.1.6

Multipliez $4 \frac{4}{t - 2}$ .

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Étape 2.2.1.6.1

Associez $4$ et $\frac{4}{t - 2}$ .

$4 t^{2} - 8 t + \frac{4 \cdot 4}{t - 2} (t - 2) = \frac{1}{4} (4 (t - 2))$

Étape 2.2.1.6.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$4 t^{2} - 8 t + \frac{16}{t - 2} (t - 2) = \frac{1}{4} (4 (t - 2))$

Étape 2.2.1.7

Annulez le facteur commun de $t - 2$ .

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Étape 2.2.1.7.1

Annulez le facteur commun.

$4 t^{2} - 8 t + \frac{16}{t - 2} (t - 2) = \frac{1}{4} (4 (t - 2))$

Étape 2.2.1.7.2

Réécrivez l’expression.

$4 t^{2} - 8 t + 16 = \frac{1}{4} (4 (t - 2))$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$4 t^{2} - 8 t + 16 = \frac{1}{4} (4 (t - 2))$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$4 t^{2} - 8 t + 16 = t - 2$

Étape 3

Résolvez l’équation.

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Étape 3.1

Déplacez tous les termes contenant $t$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1.1

Soustrayez $t$ des deux côtés de l’équation.

$4 t^{2} - 8 t + 16 - t = - 2$

Étape 3.1.2

Soustrayez $t$ de $- 8 t$ .

$4 t^{2} - 9 t + 16 = - 2$

Étape 3.2

Déplacez tous les termes du côté gauche de l’équation et simplifiez.

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Étape 3.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$4 t^{2} - 9 t + 16 + 2 = 0$

Étape 3.2.2

Additionnez $16$ et $2$ .

$4 t^{2} - 9 t + 18 = 0$

Étape 3.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.4

Remplacez les valeurs $a = 4$ , $b = - 9$ et $c = 18$ dans la formule quadratique et résolvez pour $t$ .

$\frac{9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 18)}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.5

Simplifiez

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Étape 3.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.1.1

Élevez $- 9$ à la puissance $2$ .

$t = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 4 \cdot 18}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 4 \cdot 18$ .

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Étape 3.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$t = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 16 \cdot 18}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.5.1.2.2

Multipliez $- 16$ par $18$ .

$t = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 288}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.5.1.3

Soustrayez $288$ de $81$ .

$t = \frac{9 \pm \sqrt{- 207}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.5.1.4

Réécrivez $- 207$ comme $- 1 (207)$ .

$t = \frac{9 \pm \sqrt{- 1 \cdot 207}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (207)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{207}$ .

$t = \frac{9 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{207}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$t = \frac{9 \pm i \cdot \sqrt{207}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.5.1.7

Réécrivez $207$ comme $3^{2} \cdot 23$ .

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Étape 3.5.1.7.1

Factorisez $9$ à partir de $207$ .

$t = \frac{9 \pm i \cdot \sqrt{9 (23)}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.5.1.7.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$t = \frac{9 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 23}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$t = \frac{9 \pm i \cdot (3 \sqrt{23})}{2 \cdot 4}$

Étape 3.5.1.9

Déplacez $3$ à gauche de $i$ .

$t = \frac{9 \pm 3 i \sqrt{23}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.5.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$t = \frac{9 \pm 3 i \sqrt{23}}{8}$

Étape 3.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$t = \frac{9 + 3 i \sqrt{23}}{8}, \frac{9 - 3 i \sqrt{23}}{8}$