Mathématiques de base Exemples

$1000 = \frac{{(1 + \frac{0.1}{12})}^{12} (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12 \cdot t})}{1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12}}$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $\frac{{(1 + \frac{0.1}{12})}^{12} (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12 \cdot t})}{1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12}} = 1000$ .

$\frac{{(1 + \frac{0.1}{12})}^{12} (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12 \cdot t})}{1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12}} = 1000$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12}$ .

$\frac{{(1 + \frac{0.1}{12})}^{12} (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12 \cdot t})}{1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12}} (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12}) = 1000 (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12})$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.1

Simplifiez $\frac{{(1 + \frac{0.1}{12})}^{12} (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12 \cdot t})}{1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12}} (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12})$ .

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Étape 3.1.1.1

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 3.1.1.1.1

Annulez le facteur commun de $1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12}$ .

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Étape 3.1.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(1 + \frac{0.1}{12})}^{12} (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12 \cdot t})}{1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12}} (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12}) = 1000 (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12})$

Étape 3.1.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

${(1 + \frac{0.1}{12})}^{12} (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12 \cdot t}) = 1000 (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12})$

Étape 3.1.1.1.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.1.1.1.2.1

Divisez $0.1$ par $12$ .

${(1 + 0.008\overline{3})}^{12} (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12 \cdot t}) = 1000 (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12})$

Étape 3.1.1.1.2.2

Additionnez $1$ et $0.008\overline{3}$ .

${1.008\overline{3}}^{12} (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12 \cdot t}) = 1000 (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12})$

Étape 3.1.1.1.2.3

Élevez $1.008\overline{3}$ à la puissance $12$ .

$1.10471306 (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12 \cdot t}) = 1000 (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12})$

Étape 3.1.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1.2.1

Divisez $0.1$ par $12$ .

$1.10471306 (1 - {(1 + 0.008\overline{3})}^{12 \cdot t}) = 1000 (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12})$

Étape 3.1.1.2.2

Additionnez $1$ et $0.008\overline{3}$ .

$1.10471306 (1 - {1.008\overline{3}}^{12 t}) = 1000 (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12})$

Étape 3.1.1.3

Simplifiez en multipliant.

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Étape 3.1.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$1.10471306 \cdot 1 + 1.10471306 (- {1.008\overline{3}}^{12 t}) = 1000 (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12})$

Étape 3.1.1.3.2

Multipliez.

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Étape 3.1.1.3.2.1

Multipliez $1.10471306$ par $1$ .

$1.10471306 + 1.10471306 (- {1.008\overline{3}}^{12 t}) = 1000 (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12})$

Étape 3.1.1.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $1.10471306$ .

$1.10471306 - 1.10471306 \cdot {1.008\overline{3}}^{12 t} = 1000 (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12})$

Étape 3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.1

Simplifiez $1000 (1 - {(1 + \frac{0.1}{12})}^{12})$ .

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1.1

Divisez $0.1$ par $12$ .

$1.10471306 - 1.10471306 \cdot {1.008\overline{3}}^{12 t} = 1000 (1 - {(1 + 0.008\overline{3})}^{12})$

Étape 3.2.1.1.2

Additionnez $1$ et $0.008\overline{3}$ .

$1.10471306 - 1.10471306 \cdot {1.008\overline{3}}^{12 t} = 1000 (1 - {1.008\overline{3}}^{12})$

Étape 3.2.1.1.3

Élevez $1.008\overline{3}$ à la puissance $12$ .

$1.10471306 - 1.10471306 \cdot {1.008\overline{3}}^{12 t} = 1000 (1 - 1 \cdot 1.10471306)$

Étape 3.2.1.1.4

Multipliez $- 1$ par $1.10471306$ .

$1.10471306 - 1.10471306 \cdot {1.008\overline{3}}^{12 t} = 1000 (1 - 1.10471306)$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.1.2.1

Soustrayez $1.10471306$ de $1$ .

$1.10471306 - 1.10471306 \cdot {1.008\overline{3}}^{12 t} = 1000 \cdot - 0.10471306$

Étape 3.2.1.2.2

Multipliez $1000$ par $- 0.10471306$ .

$1.10471306 - 1.10471306 \cdot {1.008\overline{3}}^{12 t} = - 104.71306744$

Étape 4

Résolvez $t$ .

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Étape 4.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $t$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.1.1

Soustrayez $1.10471306$ des deux côtés de l’équation.

$- 1.10471306 \cdot {1.008\overline{3}}^{12 t} = - 104.71306744 - 1.10471306$

Étape 4.1.2

Soustrayez $1.10471306$ de $- 104.71306744$ .

$- 1.10471306 \cdot {1.008\overline{3}}^{12 t} = - 105.8177805$

Étape 4.2

Divisez chaque terme dans $- 1.10471306 \cdot {1.008\overline{3}}^{12 t} = - 105.8177805$ par $- 1.10471306$ et simplifiez.

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Étape 4.2.1

Divisez chaque terme dans $- 1.10471306 \cdot {1.008\overline{3}}^{12 t} = - 105.8177805$ par $- 1.10471306$ .

$\frac{- 1.10471306 \cdot {1.008\overline{3}}^{12 t}}{- 1.10471306} = \frac{- 105.8177805}{- 1.10471306}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 1.10471306$ .

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Étape 4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1.10471306 \cdot {1.008\overline{3}}^{12 t}}{- 1.10471306} = \frac{- 105.8177805}{- 1.10471306}$

Étape 4.2.2.1.2

Divisez ${1.008\overline{3}}^{12 t}$ par $1$ .

${1.008\overline{3}}^{12 t} = \frac{- 105.8177805}{- 1.10471306}$

Étape 4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.3.1

Divisez $- 105.8177805$ par $- 1.10471306$ .

${1.008\overline{3}}^{12 t} = 95.7875702$

Étape 4.3

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln ({1.008\overline{3}}^{12 t}) = \ln (95.7875702)$

Étape 4.4

Développez $\ln ({1.008\overline{3}}^{12 t})$ en déplaçant $12 t$ hors du logarithme.

$12 t \ln (1.008\overline{3}) = \ln (95.7875702)$

Étape 4.5

Divisez chaque terme dans $12 t \ln (1.008\overline{3}) = \ln (95.7875702)$ par $12 \ln (1.008\overline{3})$ et simplifiez.

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Étape 4.5.1

Divisez chaque terme dans $12 t \ln (1.008\overline{3}) = \ln (95.7875702)$ par $12 \ln (1.008\overline{3})$ .

$\frac{12 t \ln (1.008\overline{3})}{12 \ln (1.008\overline{3})} = \frac{\ln (95.7875702)}{12 \ln (1.008\overline{3})}$

Étape 4.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.5.2.1

Annulez le facteur commun de $12$ .

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Étape 4.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{12 t \ln (1.008\overline{3})}{12 \ln (1.008\overline{3})} = \frac{\ln (95.7875702)}{12 \ln (1.008\overline{3})}$

Étape 4.5.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{t \ln (1.008\overline{3})}{\ln (1.008\overline{3})} = \frac{\ln (95.7875702)}{12 \ln (1.008\overline{3})}$

Étape 4.5.2.2

Annulez le facteur commun de $\ln (1.008\overline{3})$ .

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Étape 4.5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{t \ln (1.008\overline{3})}{\ln (1.008\overline{3})} = \frac{\ln (95.7875702)}{12 \ln (1.008\overline{3})}$

Étape 4.5.2.2.2

Divisez $t$ par $1$ .

$t = \frac{\ln (95.7875702)}{12 \ln (1.008\overline{3})}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$t = \frac{\ln (95.7875702)}{12 \ln (1.008\overline{3})}$

Forme décimale :

$t = 45.81115524 \dots$