Mathématiques de base Exemples

$4 \cdot 3^{x} = 5^{2 x - 1}$

Étape 1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (4 \cdot 3^{x}) = \ln (5^{2 x - 1})$

Étape 2

Développez le côté gauche.

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Étape 2.1

Réécrivez $\ln (4 \cdot 3^{x})$ comme $\ln (4) + \ln (3^{x})$ .

$\ln (4) + \ln (3^{x}) = \ln (5^{2 x - 1})$

Étape 2.2

Développez $\ln (3^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$\ln (4) + x \ln (3) = \ln (5^{2 x - 1})$

Étape 3

Développez $\ln (5^{2 x - 1})$ en déplaçant $2 x - 1$ hors du logarithme.

$\ln (4) + x \ln (3) = (2 x - 1) \ln (5)$

Étape 4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.1

Simplifiez $(2 x - 1) \ln (5)$ .

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Étape 4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (4) + x \ln (3) = 2 x \ln (5) - 1 \ln (5)$

Étape 4.1.2

Réécrivez $- 1 \ln (5)$ comme $- \ln (5)$ .

$\ln (4) + x \ln (3) = 2 x \ln (5) - \ln (5)$

Étape 5

Remettez dans l’ordre $\ln (4)$ et $x \ln (3)$ .

$x \ln (3) + \ln (4) = 2 x \ln (5) - \ln (5)$

Étape 6

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$x \ln (3) + \ln (4) - 2 x \ln (5) + \ln (5) = 0$

Étape 7

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$x \ln (3) - 2 x \ln (5) + \ln (4 \cdot 5) = 0$

Étape 8

Multipliez $4$ par $5$ .

$x \ln (3) - 2 x \ln (5) + \ln (20) = 0$

Étape 9

Soustrayez $\ln (20)$ des deux côtés de l’équation.

$x \ln (3) - 2 x \ln (5) = - \ln (20)$

Étape 10

Factorisez $x$ à partir de $x \ln (3) - 2 x \ln (5)$ .

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Étape 10.1

Factorisez $x$ à partir de $x \ln (3)$ .

$x (\ln (3)) - 2 x \ln (5) = - \ln (20)$

Étape 10.2

Factorisez $x$ à partir de $- 2 x \ln (5)$ .

$x (\ln (3)) + x (- 2 \ln (5)) = - \ln (20)$

Étape 10.3

Factorisez $x$ à partir de $x (\ln (3)) + x (- 2 \ln (5))$ .

$x (\ln (3) - 2 \ln (5)) = - \ln (20)$

Étape 11

Divisez chaque terme dans $x (\ln (3) - 2 \ln (5)) = - \ln (20)$ par $\ln (3) - 2 \ln (5)$ et simplifiez.

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Étape 11.1

Divisez chaque terme dans $x (\ln (3) - 2 \ln (5)) = - \ln (20)$ par $\ln (3) - 2 \ln (5)$ .

$\frac{x (\ln (3) - 2 \ln (5))}{\ln (3) - 2 \ln (5)} = \frac{- \ln (20)}{\ln (3) - 2 \ln (5)}$

Étape 11.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 11.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (3) - 2 \ln (5)$ .

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Étape 11.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (\ln (3) - 2 \ln (5))}{\ln (3) - 2 \ln (5)} = \frac{- \ln (20)}{\ln (3) - 2 \ln (5)}$

Étape 11.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- \ln (20)}{\ln (3) - 2 \ln (5)}$

Étape 11.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 11.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{\ln (20)}{\ln (3) - 2 \ln (5)}$

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = - \frac{\ln (20)}{\ln (3) - 2 \ln (5)}$

Forme décimale :

$x = 1.41290562 \dots$