Mathématiques de base Exemples

$\frac{1 + i}{9 + 9 i}$

Étape 1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{1 + i}{9 + 9 i}$ par le conjugué de $9 + 9 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$\frac{1 + i}{9 + 9 i} \cdot \frac{9 - 9 i}{9 - 9 i}$

Étape 2

Multipliez.

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Étape 2.1

Associez.

$\frac{(1 + i) (9 - 9 i)}{(9 + 9 i) (9 - 9 i)}$

Étape 2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.1

Développez $(1 + i) (9 - 9 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 (9 - 9 i) + i (9 - 9 i)}{(9 + 9 i) (9 - 9 i)}$

Étape 2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 \cdot 9 + 1 (- 9 i) + i (9 - 9 i)}{(9 + 9 i) (9 - 9 i)}$

Étape 2.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 \cdot 9 + 1 (- 9 i) + i \cdot 9 + i (- 9 i)}{(9 + 9 i) (9 - 9 i)}$

Étape 2.2.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1.1

Multipliez $9$ par $1$ .

$\frac{9 + 1 (- 9 i) + i \cdot 9 + i (- 9 i)}{(9 + 9 i) (9 - 9 i)}$

Étape 2.2.2.1.2

Multipliez $- 9 i$ par $1$ .

$\frac{9 - 9 i + i \cdot 9 + i (- 9 i)}{(9 + 9 i) (9 - 9 i)}$

Étape 2.2.2.1.3

Déplacez $9$ à gauche de $i$ .

$\frac{9 - 9 i + 9 \cdot i + i (- 9 i)}{(9 + 9 i) (9 - 9 i)}$

Étape 2.2.2.1.4

Multipliez $i (- 9 i)$ .

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Étape 2.2.2.1.4.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{9 - 9 i + 9 i - 9 (i^{1} i)}{(9 + 9 i) (9 - 9 i)}$

Étape 2.2.2.1.4.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{9 - 9 i + 9 i - 9 (i^{1} i^{1})}{(9 + 9 i) (9 - 9 i)}$

Étape 2.2.2.1.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{9 - 9 i + 9 i - 9 i^{1 + 1}}{(9 + 9 i) (9 - 9 i)}$

Étape 2.2.2.1.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{9 - 9 i + 9 i - 9 i^{2}}{(9 + 9 i) (9 - 9 i)}$

Étape 2.2.2.1.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{9 - 9 i + 9 i - 9 \cdot - 1}{(9 + 9 i) (9 - 9 i)}$

Étape 2.2.2.1.6

Multipliez $- 9$ par $- 1$ .

$\frac{9 - 9 i + 9 i + 9}{(9 + 9 i) (9 - 9 i)}$

Étape 2.2.2.2

Additionnez $9$ et $9$ .

$\frac{18 - 9 i + 9 i}{(9 + 9 i) (9 - 9 i)}$

Étape 2.2.2.3

Additionnez $- 9 i$ et $9 i$ .

$\frac{18 + 0}{(9 + 9 i) (9 - 9 i)}$

Étape 2.2.2.4

Additionnez $18$ et $0$ .

$\frac{18}{(9 + 9 i) (9 - 9 i)}$

Étape 2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.3.1

Développez $(9 + 9 i) (9 - 9 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{18}{9 (9 - 9 i) + 9 i (9 - 9 i)}$

Étape 2.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{18}{9 \cdot 9 + 9 (- 9 i) + 9 i (9 - 9 i)}$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{18}{9 \cdot 9 + 9 (- 9 i) + 9 i \cdot 9 + 9 i (- 9 i)}$

Étape 2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.2.1

Multipliez $9$ par $9$ .

$\frac{18}{81 + 9 (- 9 i) + 9 i \cdot 9 + 9 i (- 9 i)}$

Étape 2.3.2.2

Multipliez $- 9$ par $9$ .

$\frac{18}{81 - 81 i + 9 i \cdot 9 + 9 i (- 9 i)}$

Étape 2.3.2.3

Multipliez $9$ par $9$ .

$\frac{18}{81 - 81 i + 81 i + 9 i (- 9 i)}$

Étape 2.3.2.4

Multipliez $- 9$ par $9$ .

$\frac{18}{81 - 81 i + 81 i - 81 i i}$

Étape 2.3.2.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{18}{81 - 81 i + 81 i - 81 (i^{1} i)}$

Étape 2.3.2.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{18}{81 - 81 i + 81 i - 81 (i^{1} i^{1})}$

Étape 2.3.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{18}{81 - 81 i + 81 i - 81 i^{1 + 1}}$

Étape 2.3.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{18}{81 - 81 i + 81 i - 81 i^{2}}$

Étape 2.3.2.9

Additionnez $- 81 i$ et $81 i$ .

$\frac{18}{81 + 0 - 81 i^{2}}$

Étape 2.3.2.10

Additionnez $81$ et $0$ .

$\frac{18}{81 - 81 i^{2}}$

Étape 2.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{18}{81 - 81 \cdot - 1}$

Étape 2.3.3.2

Multipliez $- 81$ par $- 1$ .

$\frac{18}{81 + 81}$

Étape 2.3.4

Additionnez $81$ et $81$ .

$\frac{18}{162}$

Étape 3

Annulez le facteur commun à $18$ et $162$ .

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Étape 3.1

Factorisez $18$ à partir de $18$ .

$\frac{18 (1)}{162}$

Étape 3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.1

Factorisez $18$ à partir de $162$ .

$\frac{18 \cdot 1}{18 \cdot 9}$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{18 \cdot 1}{18 \cdot 9}$

Étape 3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{9}$

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{9}$

Forme décimale :

$0.\overline{1}$