Mathématiques de base Exemples

$(54 + 158 i) \div (11 + 7 i)$

Étape 1

Réécrivez la division comme une fraction.

$\frac{54 + 158 i}{11 + 7 i}$

Étape 2

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{54 + 158 i}{11 + 7 i}$ par le conjugué de $11 + 7 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$\frac{54 + 158 i}{11 + 7 i} \cdot \frac{11 - 7 i}{11 - 7 i}$

Étape 3

Multipliez.

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Étape 3.1

Associez.

$\frac{(54 + 158 i) (11 - 7 i)}{(11 + 7 i) (11 - 7 i)}$

Étape 3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.1

Développez $(54 + 158 i) (11 - 7 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{54 (11 - 7 i) + 158 i (11 - 7 i)}{(11 + 7 i) (11 - 7 i)}$

Étape 3.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{54 \cdot 11 + 54 (- 7 i) + 158 i (11 - 7 i)}{(11 + 7 i) (11 - 7 i)}$

Étape 3.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{54 \cdot 11 + 54 (- 7 i) + 158 i \cdot 11 + 158 i (- 7 i)}{(11 + 7 i) (11 - 7 i)}$

Étape 3.2.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1.1

Multipliez $54$ par $11$ .

$\frac{594 + 54 (- 7 i) + 158 i \cdot 11 + 158 i (- 7 i)}{(11 + 7 i) (11 - 7 i)}$

Étape 3.2.2.1.2

Multipliez $- 7$ par $54$ .

$\frac{594 - 378 i + 158 i \cdot 11 + 158 i (- 7 i)}{(11 + 7 i) (11 - 7 i)}$

Étape 3.2.2.1.3

Multipliez $11$ par $158$ .

$\frac{594 - 378 i + 1738 i + 158 i (- 7 i)}{(11 + 7 i) (11 - 7 i)}$

Étape 3.2.2.1.4

Multipliez $158 i (- 7 i)$ .

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Étape 3.2.2.1.4.1

Multipliez $- 7$ par $158$ .

$\frac{594 - 378 i + 1738 i - 1106 i i}{(11 + 7 i) (11 - 7 i)}$

Étape 3.2.2.1.4.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{594 - 378 i + 1738 i - 1106 (i^{1} i)}{(11 + 7 i) (11 - 7 i)}$

Étape 3.2.2.1.4.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{594 - 378 i + 1738 i - 1106 (i^{1} i^{1})}{(11 + 7 i) (11 - 7 i)}$

Étape 3.2.2.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{594 - 378 i + 1738 i - 1106 i^{1 + 1}}{(11 + 7 i) (11 - 7 i)}$

Étape 3.2.2.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{594 - 378 i + 1738 i - 1106 i^{2}}{(11 + 7 i) (11 - 7 i)}$

Étape 3.2.2.1.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{594 - 378 i + 1738 i - 1106 \cdot - 1}{(11 + 7 i) (11 - 7 i)}$

Étape 3.2.2.1.6

Multipliez $- 1106$ par $- 1$ .

$\frac{594 - 378 i + 1738 i + 1106}{(11 + 7 i) (11 - 7 i)}$

Étape 3.2.2.2

Additionnez $594$ et $1106$ .

$\frac{1700 - 378 i + 1738 i}{(11 + 7 i) (11 - 7 i)}$

Étape 3.2.2.3

Additionnez $- 378 i$ et $1738 i$ .

$\frac{1700 + 1360 i}{(11 + 7 i) (11 - 7 i)}$

Étape 3.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.3.1

Développez $(11 + 7 i) (11 - 7 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1700 + 1360 i}{11 (11 - 7 i) + 7 i (11 - 7 i)}$

Étape 3.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1700 + 1360 i}{11 \cdot 11 + 11 (- 7 i) + 7 i (11 - 7 i)}$

Étape 3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1700 + 1360 i}{11 \cdot 11 + 11 (- 7 i) + 7 i \cdot 11 + 7 i (- 7 i)}$

Étape 3.3.2

Simplifiez

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Étape 3.3.2.1

Multipliez $11$ par $11$ .

$\frac{1700 + 1360 i}{121 + 11 (- 7 i) + 7 i \cdot 11 + 7 i (- 7 i)}$

Étape 3.3.2.2

Multipliez $- 7$ par $11$ .

$\frac{1700 + 1360 i}{121 - 77 i + 7 i \cdot 11 + 7 i (- 7 i)}$

Étape 3.3.2.3

Multipliez $11$ par $7$ .

$\frac{1700 + 1360 i}{121 - 77 i + 77 i + 7 i (- 7 i)}$

Étape 3.3.2.4

Multipliez $- 7$ par $7$ .

$\frac{1700 + 1360 i}{121 - 77 i + 77 i - 49 i i}$

Étape 3.3.2.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{1700 + 1360 i}{121 - 77 i + 77 i - 49 (i^{1} i)}$

Étape 3.3.2.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{1700 + 1360 i}{121 - 77 i + 77 i - 49 (i^{1} i^{1})}$

Étape 3.3.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1700 + 1360 i}{121 - 77 i + 77 i - 49 i^{1 + 1}}$

Étape 3.3.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1700 + 1360 i}{121 - 77 i + 77 i - 49 i^{2}}$

Étape 3.3.2.9

Additionnez $- 77 i$ et $77 i$ .

$\frac{1700 + 1360 i}{121 + 0 - 49 i^{2}}$

Étape 3.3.2.10

Additionnez $121$ et $0$ .

$\frac{1700 + 1360 i}{121 - 49 i^{2}}$

Étape 3.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{1700 + 1360 i}{121 - 49 \cdot - 1}$

Étape 3.3.3.2

Multipliez $- 49$ par $- 1$ .

$\frac{1700 + 1360 i}{121 + 49}$

Étape 3.3.4

Additionnez $121$ et $49$ .

$\frac{1700 + 1360 i}{170}$

Étape 4

Annulez le facteur commun à $1700 + 1360 i$ et $170$ .

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Étape 4.1

Factorisez $170$ à partir de $1700$ .

$\frac{170 \cdot 10 + 1360 i}{170}$

Étape 4.2

Factorisez $170$ à partir de $1360 i$ .

$\frac{170 \cdot 10 + 170 (8 i)}{170}$

Étape 4.3

Factorisez $170$ à partir de $170 (10) + 170 (8 i)$ .

$\frac{170 (10 + 8 i)}{170}$

Étape 4.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.4.1

Factorisez $170$ à partir de $170$ .

$\frac{170 (10 + 8 i)}{170 (1)}$

Étape 4.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{170 (10 + 8 i)}{170 \cdot 1}$

Étape 4.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{10 + 8 i}{1}$

Étape 4.4.4

Divisez $10 + 8 i$ par $1$ .

$10 + 8 i$