Mathématiques de base Exemples

$(3 - \frac{9 m - 1}{m + 3 m^{2}}) \cdot (m + 1 + \frac{4}{9 m - 3})$

Étape 1

Factorisez $m$ à partir de $m + 3 m^{2}$ .

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Étape 1.1

Élevez $m$ à la puissance $1$ .

$(3 - \frac{9 m - 1}{m^{1} + 3 m^{2}}) \cdot (m + 1 + \frac{4}{9 m - 3})$

Étape 1.2

Factorisez $m$ à partir de $m^{1}$ .

$(3 - \frac{9 m - 1}{m \cdot 1 + 3 m^{2}}) \cdot (m + 1 + \frac{4}{9 m - 3})$

Étape 1.3

Factorisez $m$ à partir de $3 m^{2}$ .

$(3 - \frac{9 m - 1}{m \cdot 1 + m (3 m)}) \cdot (m + 1 + \frac{4}{9 m - 3})$

Étape 1.4

Factorisez $m$ à partir de $m \cdot 1 + m (3 m)$ .

$(3 - \frac{9 m - 1}{m (1 + 3 m)}) \cdot (m + 1 + \frac{4}{9 m - 3})$

Étape 2

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{m (1 + 3 m)}{m (1 + 3 m)}$ .

$(3 \cdot \frac{m (1 + 3 m)}{m (1 + 3 m)} - \frac{9 m - 1}{m (1 + 3 m)}) \cdot (m + 1 + \frac{4}{9 m - 3})$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Associez $3$ et $\frac{m (1 + 3 m)}{m (1 + 3 m)}$ .

$(\frac{3 (m (1 + 3 m))}{m (1 + 3 m)} - \frac{9 m - 1}{m (1 + 3 m)}) \cdot (m + 1 + \frac{4}{9 m - 3})$

Étape 3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 (m (1 + 3 m)) - (9 m - 1)}{m (1 + 3 m)} \cdot (m + 1 + \frac{4}{9 m - 3})$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (m \cdot 1 + m (3 m)) - (9 m - 1)}{m (1 + 3 m)} \cdot (m + 1 + \frac{4}{9 m - 3})$

Étape 4.2

Multipliez $m$ par $1$ .

$\frac{3 (m + m (3 m)) - (9 m - 1)}{m (1 + 3 m)} \cdot (m + 1 + \frac{4}{9 m - 3})$

Étape 4.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{3 (m + 3 m \cdot m) - (9 m - 1)}{m (1 + 3 m)} \cdot (m + 1 + \frac{4}{9 m - 3})$

Étape 4.4

Multipliez $m$ par $m$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.4.1

Déplacez $m$ .

$\frac{3 (m + 3 (m \cdot m)) - (9 m - 1)}{m (1 + 3 m)} \cdot (m + 1 + \frac{4}{9 m - 3})$

Étape 4.4.2

Multipliez $m$ par $m$ .

$\frac{3 (m + 3 m^{2}) - (9 m - 1)}{m (1 + 3 m)} \cdot (m + 1 + \frac{4}{9 m - 3})$

Étape 4.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 m + 3 (3 m^{2}) - (9 m - 1)}{m (1 + 3 m)} \cdot (m + 1 + \frac{4}{9 m - 3})$

Étape 4.6

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{3 m + 9 m^{2} - (9 m - 1)}{m (1 + 3 m)} \cdot (m + 1 + \frac{4}{9 m - 3})$

Étape 4.7

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 m + 9 m^{2} - (9 m) - - 1}{m (1 + 3 m)} \cdot (m + 1 + \frac{4}{9 m - 3})$

Étape 4.8

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$\frac{3 m + 9 m^{2} - 9 m - - 1}{m (1 + 3 m)} \cdot (m + 1 + \frac{4}{9 m - 3})$

Étape 4.9

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{3 m + 9 m^{2} - 9 m + 1}{m (1 + 3 m)} \cdot (m + 1 + \frac{4}{9 m - 3})$

Étape 4.10

Soustrayez $9 m$ de $3 m$ .

$\frac{9 m^{2} - 6 m + 1}{m (1 + 3 m)} \cdot (m + 1 + \frac{4}{9 m - 3})$

Étape 4.11

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 4.11.1

Réécrivez $9 m^{2}$ comme ${(3 m)}^{2}$ .

$\frac{{(3 m)}^{2} - 6 m + 1}{m (1 + 3 m)} \cdot (m + 1 + \frac{4}{9 m - 3})$

Étape 4.11.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{{(3 m)}^{2} - 6 m + 1^{2}}{m (1 + 3 m)} \cdot (m + 1 + \frac{4}{9 m - 3})$

Étape 4.11.3

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$6 m = 2 \cdot (3 m) \cdot 1$

Étape 4.11.4

Réécrivez le polynôme.

$\frac{{(3 m)}^{2} - 2 \cdot (3 m) \cdot 1 + 1^{2}}{m (1 + 3 m)} \cdot (m + 1 + \frac{4}{9 m - 3})$

Étape 4.11.5

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = 3 m$ et $b = 1$ .

$\frac{{(3 m - 1)}^{2}}{m (1 + 3 m)} \cdot (m + 1 + \frac{4}{9 m - 3})$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Factorisez $3$ à partir de $9 m - 3$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $3$ à partir de $9 m$ .

$\frac{{(3 m - 1)}^{2}}{m (1 + 3 m)} \cdot (m + 1 + \frac{4}{3 (3 m) - 3})$

Étape 5.1.2

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$\frac{{(3 m - 1)}^{2}}{m (1 + 3 m)} \cdot (m + 1 + \frac{4}{3 (3 m) + 3 (- 1)})$

Étape 5.1.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (3 m) + 3 (- 1)$ .

$\frac{{(3 m - 1)}^{2}}{m (1 + 3 m)} \cdot (m + 1 + \frac{4}{3 (3 m - 1)})$

Étape 5.2

Multipliez $\frac{{(3 m - 1)}^{2}}{m (1 + 3 m)}$ par $m + 1 + \frac{4}{3 (3 m - 1)}$ .

$\frac{{(3 m - 1)}^{2} (m + 1 + \frac{4}{3 (3 m - 1)})}{m (1 + 3 m)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Pour écrire $m$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 (3 m - 1)}{3 (3 m - 1)}$ .

$\frac{{(3 m - 1)}^{2} (m \cdot \frac{3 (3 m - 1)}{3 (3 m - 1)} + \frac{4}{3 (3 m - 1)} + 1)}{m (1 + 3 m)}$

Étape 6.2

Associez $m$ et $\frac{3 (3 m - 1)}{3 (3 m - 1)}$ .

$\frac{{(3 m - 1)}^{2} (\frac{m (3 (3 m - 1))}{3 (3 m - 1)} + \frac{4}{3 (3 m - 1)} + 1)}{m (1 + 3 m)}$

Étape 6.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{{(3 m - 1)}^{2} (\frac{m (3 (3 m - 1)) + 4}{3 (3 m - 1)} + 1)}{m (1 + 3 m)}$

Étape 6.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.4.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{{(3 m - 1)}^{2} (\frac{3 m (3 m - 1) + 4}{3 (3 m - 1)} + 1)}{m (1 + 3 m)}$

Étape 6.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{{(3 m - 1)}^{2} (\frac{3 m (3 m) + 3 m \cdot - 1 + 4}{3 (3 m - 1)} + 1)}{m (1 + 3 m)}$

Étape 6.4.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{{(3 m - 1)}^{2} (\frac{3 \cdot 3 m \cdot m + 3 m \cdot - 1 + 4}{3 (3 m - 1)} + 1)}{m (1 + 3 m)}$

Étape 6.4.4

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{{(3 m - 1)}^{2} (\frac{3 \cdot 3 m \cdot m - 3 m + 4}{3 (3 m - 1)} + 1)}{m (1 + 3 m)}$

Étape 6.4.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.4.5.1

Multipliez $m$ par $m$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.4.5.1.1

Déplacez $m$ .

$\frac{{(3 m - 1)}^{2} (\frac{3 \cdot 3 (m \cdot m) - 3 m + 4}{3 (3 m - 1)} + 1)}{m (1 + 3 m)}$

Étape 6.4.5.1.2

Multipliez $m$ par $m$ .

$\frac{{(3 m - 1)}^{2} (\frac{3 \cdot 3 m^{2} - 3 m + 4}{3 (3 m - 1)} + 1)}{m (1 + 3 m)}$

Étape 6.4.5.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{{(3 m - 1)}^{2} (\frac{9 m^{2} - 3 m + 4}{3 (3 m - 1)} + 1)}{m (1 + 3 m)}$

Étape 6.5

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{{(3 m - 1)}^{2} (\frac{9 m^{2} - 3 m + 4}{3 (3 m - 1)} + \frac{3 (3 m - 1)}{3 (3 m - 1)})}{m (1 + 3 m)}$

Étape 6.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{{(3 m - 1)}^{2} \frac{9 m^{2} - 3 m + 4 + 3 (3 m - 1)}{3 (3 m - 1)}}{m (1 + 3 m)}$

Étape 6.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{{(3 m - 1)}^{2} \frac{9 m^{2} - 3 m + 4 + 3 (3 m) + 3 \cdot - 1}{3 (3 m - 1)}}{m (1 + 3 m)}$

Étape 6.7.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{{(3 m - 1)}^{2} \frac{9 m^{2} - 3 m + 4 + 9 m + 3 \cdot - 1}{3 (3 m - 1)}}{m (1 + 3 m)}$

Étape 6.7.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{{(3 m - 1)}^{2} \frac{9 m^{2} - 3 m + 4 + 9 m - 3}{3 (3 m - 1)}}{m (1 + 3 m)}$

Étape 6.7.4

Additionnez $- 3 m$ et $9 m$ .

$\frac{{(3 m - 1)}^{2} \frac{9 m^{2} + 6 m + 4 - 3}{3 (3 m - 1)}}{m (1 + 3 m)}$

Étape 6.7.5

Soustrayez $3$ de $4$ .

$\frac{{(3 m - 1)}^{2} \frac{9 m^{2} + 6 m + 1}{3 (3 m - 1)}}{m (1 + 3 m)}$

Étape 6.7.6

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 6.7.6.1

Réécrivez $9 m^{2}$ comme ${(3 m)}^{2}$ .

$\frac{{(3 m - 1)}^{2} \frac{{(3 m)}^{2} + 6 m + 1}{3 (3 m - 1)}}{m (1 + 3 m)}$

Étape 6.7.6.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{{(3 m - 1)}^{2} \frac{{(3 m)}^{2} + 6 m + 1^{2}}{3 (3 m - 1)}}{m (1 + 3 m)}$

Étape 6.7.6.3

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$6 m = 2 \cdot (3 m) \cdot 1$

Étape 6.7.6.4

Réécrivez le polynôme.

$\frac{{(3 m - 1)}^{2} \frac{{(3 m)}^{2} + 2 \cdot (3 m) \cdot 1 + 1^{2}}{3 (3 m - 1)}}{m (1 + 3 m)}$

Étape 6.7.6.5

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = 3 m$ et $b = 1$ .

$\frac{{(3 m - 1)}^{2} \frac{{(3 m + 1)}^{2}}{3 (3 m - 1)}}{m (1 + 3 m)}$

Étape 7

Simplifiez les termes.

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Étape 7.1

Associez ${(3 m - 1)}^{2}$ et $\frac{{(3 m + 1)}^{2}}{3 (3 m - 1)}$ .

$\frac{\frac{{(3 m - 1)}^{2} {(3 m + 1)}^{2}}{3 (3 m - 1)}}{m (1 + 3 m)}$

Étape 7.2

Réduisez l’expression $\frac{{(3 m - 1)}^{2} {(3 m + 1)}^{2}}{3 (3 m - 1)}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 7.2.1

Factorisez $3 m - 1$ à partir de ${(3 m - 1)}^{2} {(3 m + 1)}^{2}$ .

$\frac{\frac{(3 m - 1) ((3 m - 1) {(3 m + 1)}^{2})}{3 (3 m - 1)}}{m (1 + 3 m)}$

Étape 7.2.2

Factorisez $3 m - 1$ à partir de $3 (3 m - 1)$ .

$\frac{\frac{(3 m - 1) ((3 m - 1) {(3 m + 1)}^{2})}{(3 m - 1) \cdot 3}}{m (1 + 3 m)}$

Étape 7.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{(3 m - 1) ((3 m - 1) {(3 m + 1)}^{2})}{(3 m - 1) \cdot 3}}{m (1 + 3 m)}$

Étape 7.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{(3 m - 1) {(3 m + 1)}^{2}}{3}}{m (1 + 3 m)}$

Étape 8

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{(3 m - 1) {(3 m + 1)}^{2}}{3} \cdot \frac{1}{m (1 + 3 m)}$

Étape 9

Associez.

$\frac{(3 m - 1) {(3 m + 1)}^{2} \cdot 1}{3 (m (1 + 3 m))}$

Étape 10

Annulez le facteur commun à ${(3 m + 1)}^{2}$ et $1 + 3 m$ .

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Étape 10.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{(3 m - 1) {(3 m + 1)}^{2} \cdot 1}{3 (m (3 m + 1))}$

Étape 10.2

Factorisez $3 m + 1$ à partir de $(3 m - 1) {(3 m + 1)}^{2} \cdot 1$ .

$\frac{(3 m + 1) (((3 m - 1) (3 m + 1)) \cdot 1)}{3 (m (3 m + 1))}$

Étape 10.3

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.3.1

Factorisez $3 m + 1$ à partir de $3 (m (3 m + 1))$ .

$\frac{(3 m + 1) (((3 m - 1) (3 m + 1)) \cdot 1)}{(3 m + 1) (3 (m))}$

Étape 10.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(3 m + 1) (((3 m - 1) (3 m + 1)) \cdot 1)}{(3 m + 1) (3 (m))}$

Étape 10.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{((3 m - 1) (3 m + 1)) \cdot 1}{3 (m)}$

Étape 11

Multipliez $3 m - 1$ par $1$ .

$\frac{(3 m - 1) (3 m + 1)}{3 m}$