Mathématiques de base Exemples

$20 x^{2} - 9 x \geq 20$

Étape 1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$20 x^{2} - 9 x = 20$

Étape 2

Soustrayez $20$ des deux côtés de l’équation.

$20 x^{2} - 9 x - 20 = 0$

Étape 3

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 20 \cdot - 20 = - 400$ et dont la somme est $b = - 9$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $- 9$ à partir de $- 9 x$ .

$20 x^{2} - 9 x - 20 = 0$

Étape 3.1.2

Réécrivez $- 9$ comme $16$ plus $- 25$

$20 x^{2} + (16 - 25) x - 20 = 0$

Étape 3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$20 x^{2} + 16 x - 25 x - 20 = 0$

Étape 3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(20 x^{2} + 16 x) - 25 x - 20 = 0$

Étape 3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$4 x (5 x + 4) - 5 (5 x + 4) = 0$

Étape 3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $5 x + 4$ .

$(5 x + 4) (4 x - 5) = 0$

Étape 4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$5 x + 4 = 0$

$4 x - 5 = 0$

Étape 5

Définissez $5 x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $5 x + 4$ égal à $0$ .

$5 x + 4 = 0$

Étape 5.2

Résolvez $5 x + 4 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.2.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$5 x = - 4$

Étape 5.2.2

Divisez chaque terme dans $5 x = - 4$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $5 x = - 4$ par $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 4}{5}$

Étape 5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 4}{5}$

Étape 5.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 4}{5}$

Étape 5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{4}{5}$

Étape 6

Définissez $4 x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $4 x - 5$ égal à $0$ .

$4 x - 5 = 0$

Étape 6.2

Résolvez $4 x - 5 = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.2.1

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$4 x = 5$

Étape 6.2.2

Divisez chaque terme dans $4 x = 5$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 6.2.2.1

Divisez chaque terme dans $4 x = 5$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{5}{4}$

Étape 6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 6.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{5}{4}$

Étape 6.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{5}{4}$

Étape 7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(5 x + 4) (4 x - 5) = 0$ vraie.

$x = - \frac{4}{5}, \frac{5}{4}$

Étape 8

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - \frac{4}{5}$

$- \frac{4}{5} < x < \frac{5}{4}$

$x > \frac{5}{4}$

Étape 9

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 9.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{4}{5}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{4}{5}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 3$

Étape 9.1.2

Remplacez $x$ par $- 3$ dans l’inégalité d’origine.

$20 {(- 3)}^{2} - 9 \cdot - 3 \geq 20$

Étape 9.1.3

Le côté gauche $207$ est supérieur au côté droit $20$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 9.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- \frac{4}{5} < x < \frac{5}{4}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- \frac{4}{5} < x < \frac{5}{4}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 9.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$20 {(0)}^{2} - 9 \cdot 0 \geq 20$

Étape 9.2.3

Le côté gauche $0$ est inférieur au côté droit $20$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 9.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{5}{4}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{5}{4}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 9.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$20 {(4)}^{2} - 9 \cdot 4 \geq 20$

Étape 9.3.3

Le côté gauche $284$ est supérieur au côté droit $20$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 9.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - \frac{4}{5}$ Vrai

$- \frac{4}{5} < x < \frac{5}{4}$ Faux

$x > \frac{5}{4}$ Vrai

$x < - \frac{4}{5}$ Vrai

$- \frac{4}{5} < x < \frac{5}{4}$ Faux

$x > \frac{5}{4}$ Vrai

Étape 10

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x \leq - \frac{4}{5}$ ou $x \geq \frac{5}{4}$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$x \leq - \frac{4}{5} or x \geq \frac{5}{4}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - \frac{4}{5}] \cup [\frac{5}{4}, \infty)$

Étape 12