Mathématiques de base Exemples

$\frac{4 y^{2} - 13 y + 3}{2 y^{2} - 5 y - 12} \cdot \frac{2 y^{2} + 9 y + 9}{16 y^{2} - 1} \cdot \frac{y^{2} + 3 y - 28}{y^{2} - 9}$

Étape 1

Factorisez $y^{2} + 3 y - 28$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 28$ et dont la somme est $3$ .

$- 4, 7$

Étape 1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{4 y^{2} - 13 y + 3}{2 y^{2} - 5 y - 12} \cdot \frac{2 y^{2} + 9 y + 9}{16 y^{2} - 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{y^{2} - 9}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{4 y^{2} - 13 y + 3}{2 y^{2} - 5 y - 12} \cdot \frac{2 y^{2} + 9 y + 9}{16 y^{2} - 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{y^{2} - 3^{2}}$

Étape 2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = y$ et $b = 3$ .

$\frac{4 y^{2} - 13 y + 3}{2 y^{2} - 5 y - 12} \cdot \frac{2 y^{2} + 9 y + 9}{16 y^{2} - 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

Étape 3

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 4 \cdot 3 = 12$ et dont la somme est $b = - 13$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $- 13$ à partir de $- 13 y$ .

$\frac{4 y^{2} - 13 (y) + 3}{2 y^{2} - 5 y - 12} \cdot \frac{2 y^{2} + 9 y + 9}{16 y^{2} - 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

Étape 3.1.2

Réécrivez $- 13$ comme $- 1$ plus $- 12$

$\frac{4 y^{2} + (- 1 - 12) y + 3}{2 y^{2} - 5 y - 12} \cdot \frac{2 y^{2} + 9 y + 9}{16 y^{2} - 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

Étape 3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 y^{2} - 1 y - 12 y + 3}{2 y^{2} - 5 y - 12} \cdot \frac{2 y^{2} + 9 y + 9}{16 y^{2} - 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

Étape 3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(4 y^{2} - 1 y) - 12 y + 3}{2 y^{2} - 5 y - 12} \cdot \frac{2 y^{2} + 9 y + 9}{16 y^{2} - 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

Étape 3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{y (4 y - 1) - 3 (4 y - 1)}{2 y^{2} - 5 y - 12} \cdot \frac{2 y^{2} + 9 y + 9}{16 y^{2} - 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

Étape 3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $4 y - 1$ .

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{2 y^{2} - 5 y - 12} \cdot \frac{2 y^{2} + 9 y + 9}{16 y^{2} - 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

Étape 4

Factorisez par regroupement.

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Étape 4.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 12 = - 24$ et dont la somme est $b = - 5$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $- 5$ à partir de $- 5 y$ .

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{2 y^{2} - 5 (y) - 12} \cdot \frac{2 y^{2} + 9 y + 9}{16 y^{2} - 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

Étape 4.1.2

Réécrivez $- 5$ comme $3$ plus $- 8$

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{2 y^{2} + (3 - 8) y - 12} \cdot \frac{2 y^{2} + 9 y + 9}{16 y^{2} - 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{2 y^{2} + 3 y - 8 y - 12} \cdot \frac{2 y^{2} + 9 y + 9}{16 y^{2} - 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

Étape 4.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 4.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{(2 y^{2} + 3 y) - 8 y - 12} \cdot \frac{2 y^{2} + 9 y + 9}{16 y^{2} - 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

Étape 4.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{y (2 y + 3) - 4 (2 y + 3)} \cdot \frac{2 y^{2} + 9 y + 9}{16 y^{2} - 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

Étape 4.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 y + 3$ .

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{(2 y + 3) (y - 4)} \cdot \frac{2 y^{2} + 9 y + 9}{16 y^{2} - 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

Étape 5

Factorisez par regroupement.

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Étape 5.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot 9 = 18$ et dont la somme est $b = 9$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $9$ à partir de $9 y$ .

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{(2 y + 3) (y - 4)} \cdot \frac{2 y^{2} + 9 (y) + 9}{16 y^{2} - 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

Étape 5.1.2

Réécrivez $9$ comme $3$ plus $6$

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{(2 y + 3) (y - 4)} \cdot \frac{2 y^{2} + (3 + 6) y + 9}{16 y^{2} - 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

Étape 5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{(2 y + 3) (y - 4)} \cdot \frac{2 y^{2} + 3 y + 6 y + 9}{16 y^{2} - 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

Étape 5.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 5.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{(2 y + 3) (y - 4)} \cdot \frac{(2 y^{2} + 3 y) + 6 y + 9}{16 y^{2} - 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

Étape 5.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{(2 y + 3) (y - 4)} \cdot \frac{y (2 y + 3) + 3 (2 y + 3)}{16 y^{2} - 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

Étape 5.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 y + 3$ .

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{(2 y + 3) (y - 4)} \cdot \frac{(2 y + 3) (y + 3)}{16 y^{2} - 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

Étape 6

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.1

Réécrivez $16 y^{2}$ comme ${(4 y)}^{2}$ .

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{(2 y + 3) (y - 4)} \cdot \frac{(2 y + 3) (y + 3)}{{(4 y)}^{2} - 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

Étape 6.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{(2 y + 3) (y - 4)} \cdot \frac{(2 y + 3) (y + 3)}{{(4 y)}^{2} - 1^{2}} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

Étape 6.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 4 y$ et $b = 1$ .

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{(2 y + 3) (y - 4)} \cdot \frac{(2 y + 3) (y + 3)}{(4 y + 1) (4 y - 1)} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

Étape 7

Simplifiez les termes.

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun de $4 y - 1$ .

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Étape 7.1.1

Factorisez $4 y - 1$ à partir de $(4 y + 1) (4 y - 1)$ .

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{(2 y + 3) (y - 4)} \cdot \frac{(2 y + 3) (y + 3)}{(4 y - 1) (4 y + 1)} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

Étape 7.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{(2 y + 3) (y - 4)} \cdot \frac{(2 y + 3) (y + 3)}{(4 y - 1) (4 y + 1)} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

Étape 7.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{y - 3}{(2 y + 3) (y - 4)} \cdot \frac{(2 y + 3) (y + 3)}{4 y + 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun de $2 y + 3$ .

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y - 3}{(2 y + 3) (y - 4)} \cdot \frac{(2 y + 3) (y + 3)}{4 y + 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

Étape 7.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y - 3}{y - 4} \cdot \frac{y + 3}{4 y + 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

Étape 7.3

Multipliez $\frac{y - 3}{y - 4}$ par $\frac{y + 3}{4 y + 1}$ .

$\frac{(y - 3) (y + 3)}{(y - 4) (4 y + 1)} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

Étape 7.4

Annulez le facteur commun de $(y + 3) (y - 3)$ .

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Étape 7.4.1

Factorisez $(y + 3) (y - 3)$ à partir de $(y - 3) (y + 3)$ .

$\frac{(y + 3) (y - 3) (1)}{(y - 4) (4 y + 1)} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

Étape 7.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(y + 3) (y - 3) \cdot 1}{(y - 4) (4 y + 1)} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

Étape 7.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{(y - 4) (4 y + 1)} \cdot ((y - 4) (y + 7))$

Étape 7.5

Annulez le facteur commun de $y - 4$ .

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Étape 7.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{(y - 4) (4 y + 1)} \cdot ((y - 4) (y + 7))$

Étape 7.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4 y + 1} \cdot (y + 7)$

Étape 7.6

Multipliez $\frac{1}{4 y + 1}$ par $y + 7$ .

$\frac{y + 7}{4 y + 1}$