Mathématiques de base Exemples

$\frac{\frac{a}{a + 1} + \frac{a}{a - 1}}{\frac{a}{a^{2} - 1} - \frac{1}{a + 1}}$

Étape 1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $(a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1)$ .

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Étape 1.1

Multipliez $\frac{\frac{a}{a + 1} + \frac{a}{a - 1}}{\frac{a}{a^{2} - 1} - \frac{1}{a + 1}}$ par $\frac{(a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1)}{(a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1)}$ .

$\frac{(a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1)}{(a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1)} \cdot \frac{\frac{a}{a + 1} + \frac{a}{a - 1}}{\frac{a}{a^{2} - 1} - \frac{1}{a + 1}}$

Étape 1.2

Associez.

$\frac{(a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) (\frac{a}{a + 1} + \frac{a}{a - 1})}{(a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) (\frac{a}{a^{2} - 1} - \frac{1}{a + 1})}$

Étape 2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) \frac{a}{a + 1} + (a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) \frac{a}{a - 1}}{(a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) \frac{a}{a^{2} - 1} + (a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) (- \frac{1}{a + 1})}$

Étape 3

Simplifiez en annulant.

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $a + 1$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $a + 1$ à partir de $(a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1)$ .

$\frac{(a + 1) ((a - 1) (a^{2} - 1)) \frac{a}{a + 1} + (a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) \frac{a}{a - 1}}{(a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) \frac{a}{a^{2} - 1} + (a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) (- \frac{1}{a + 1})}$

Étape 3.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(a + 1) ((a - 1) (a^{2} - 1)) \frac{a}{a + 1} + (a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) \frac{a}{a - 1}}{(a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) \frac{a}{a^{2} - 1} + (a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) (- \frac{1}{a + 1})}$

Étape 3.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(a - 1) (a^{2} - 1) a + (a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) \frac{a}{a - 1}}{(a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) \frac{a}{a^{2} - 1} + (a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) (- \frac{1}{a + 1})}$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $a - 1$ .

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Étape 3.2.1

Factorisez $a - 1$ à partir de $(a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1)$ .

$\frac{(a - 1) (a^{2} - 1) a + (a - 1) ((a + 1) (a^{2} - 1)) \frac{a}{a - 1}}{(a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) \frac{a}{a^{2} - 1} + (a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) (- \frac{1}{a + 1})}$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(a - 1) (a^{2} - 1) a + (a - 1) ((a + 1) (a^{2} - 1)) \frac{a}{a - 1}}{(a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) \frac{a}{a^{2} - 1} + (a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) (- \frac{1}{a + 1})}$

Étape 3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(a - 1) (a^{2} - 1) a + (a + 1) (a^{2} - 1) a}{(a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) \frac{a}{a^{2} - 1} + (a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) (- \frac{1}{a + 1})}$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun de $a^{2} - 1$ .

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Étape 3.3.1

Factorisez $a^{2} - 1$ à partir de $(a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1)$ .

$\frac{(a - 1) (a^{2} - 1) a + (a + 1) (a^{2} - 1) a}{(a^{2} - 1) ((a + 1) (a - 1)) \frac{a}{a^{2} - 1} + (a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) (- \frac{1}{a + 1})}$

Étape 3.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(a - 1) (a^{2} - 1) a + (a + 1) (a^{2} - 1) a}{(a^{2} - 1) ((a + 1) (a - 1)) \frac{a}{a^{2} - 1} + (a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) (- \frac{1}{a + 1})}$

Étape 3.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(a - 1) (a^{2} - 1) a + (a + 1) (a^{2} - 1) a}{(a + 1) (a - 1) a + (a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) (- \frac{1}{a + 1})}$

Étape 3.4

Annulez le facteur commun de $a + 1$ .

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Étape 3.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{a + 1}$ dans le numérateur.

$\frac{(a - 1) (a^{2} - 1) a + (a + 1) (a^{2} - 1) a}{(a + 1) (a - 1) a + (a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) \frac{- 1}{a + 1}}$

Étape 3.4.2

Factorisez $a + 1$ à partir de $(a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1)$ .

$\frac{(a - 1) (a^{2} - 1) a + (a + 1) (a^{2} - 1) a}{(a + 1) (a - 1) a + (a + 1) ((a - 1) (a^{2} - 1)) \frac{- 1}{a + 1}}$

Étape 3.4.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{(a - 1) (a^{2} - 1) a + (a + 1) (a^{2} - 1) a}{(a + 1) (a - 1) a + (a + 1) ((a - 1) (a^{2} - 1)) \frac{- 1}{a + 1}}$

Étape 3.4.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{(a - 1) (a^{2} - 1) a + (a + 1) (a^{2} - 1) a}{(a + 1) (a - 1) a + (a - 1) (a^{2} - 1) \cdot - 1}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Factorisez $(a^{2} - 1) a$ à partir de $(a - 1) (a^{2} - 1) a + (a + 1) (a^{2} - 1) a$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $(a^{2} - 1) a$ à partir de $(a - 1) (a^{2} - 1) a$ .

$\frac{(a^{2} - 1) a (a - 1) + (a + 1) (a^{2} - 1) a}{(a + 1) (a - 1) a + (a - 1) (a^{2} - 1) \cdot - 1}$

Étape 4.1.2

Factorisez $(a^{2} - 1) a$ à partir de $(a + 1) (a^{2} - 1) a$ .

$\frac{(a^{2} - 1) a (a - 1) + (a^{2} - 1) a (a + 1)}{(a + 1) (a - 1) a + (a - 1) (a^{2} - 1) \cdot - 1}$

Étape 4.1.3

Factorisez $(a^{2} - 1) a$ à partir de $(a^{2} - 1) a (a - 1) + (a^{2} - 1) a (a + 1)$ .

$\frac{(a^{2} - 1) a (a - 1 + a + 1)}{(a + 1) (a - 1) a + (a - 1) (a^{2} - 1) \cdot - 1}$

Étape 4.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{(a^{2} - 1^{2}) a (a - 1 + a + 1)}{(a + 1) (a - 1) a + (a - 1) (a^{2} - 1) \cdot - 1}$

Étape 4.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = a$ et $b = 1$ .

$\frac{(a + 1) (a - 1) a (a - 1 + a + 1)}{(a + 1) (a - 1) a + (a - 1) (a^{2} - 1) \cdot - 1}$

Étape 4.4

Additionnez $a$ et $a$ .

$\frac{(a + 1) (a - 1) a (2 a - 1 + 1)}{(a + 1) (a - 1) a + (a - 1) (a^{2} - 1) \cdot - 1}$

Étape 4.5

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$\frac{(a + 1) (a - 1) a (2 a + 0)}{(a + 1) (a - 1) a + (a - 1) (a^{2} - 1) \cdot - 1}$

Étape 4.6

Additionnez $2 a$ et $0$ .

$\frac{(a + 1) (a - 1) a \cdot 2 a}{(a + 1) (a - 1) a + (a - 1) (a^{2} - 1) \cdot - 1}$

Étape 4.7

Associez les exposants.

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Étape 4.7.1

Élevez $a$ à la puissance $1$ .

$\frac{(a + 1) (a - 1) \cdot 2 (a^{1} a)}{(a + 1) (a - 1) a + (a - 1) (a^{2} - 1) \cdot - 1}$

Étape 4.7.2

Élevez $a$ à la puissance $1$ .

$\frac{(a + 1) (a - 1) \cdot 2 (a^{1} a^{1})}{(a + 1) (a - 1) a + (a - 1) (a^{2} - 1) \cdot - 1}$

Étape 4.7.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(a + 1) (a - 1) \cdot 2 a^{1 + 1}}{(a + 1) (a - 1) a + (a - 1) (a^{2} - 1) \cdot - 1}$

Étape 4.7.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{(a + 1) (a - 1) \cdot 2 a^{2}}{(a + 1) (a - 1) a + (a - 1) (a^{2} - 1) \cdot - 1}$

Étape 5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.1

Factorisez $a - 1$ à partir de $(a + 1) (a - 1) a + (a - 1) (a^{2} - 1) \cdot - 1$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $a - 1$ à partir de $(a + 1) (a - 1) a$ .

$\frac{(a + 1) (a - 1) \cdot 2 a^{2}}{(a - 1) ((a + 1) a) + (a - 1) (a^{2} - 1) \cdot - 1}$

Étape 5.1.2

Factorisez $a - 1$ à partir de $(a - 1) (a^{2} - 1) \cdot - 1$ .

$\frac{(a + 1) (a - 1) \cdot 2 a^{2}}{(a - 1) ((a + 1) a) + (a - 1) ((a^{2} - 1) \cdot - 1)}$

Étape 5.1.3

Factorisez $a - 1$ à partir de $(a - 1) ((a + 1) a) + (a - 1) ((a^{2} - 1) \cdot - 1)$ .

$\frac{(a + 1) (a - 1) \cdot 2 a^{2}}{(a - 1) ((a + 1) a + (a^{2} - 1) \cdot - 1)}$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(a + 1) (a - 1) \cdot 2 a^{2}}{(a - 1) (a \cdot a + 1 a + (a^{2} - 1) \cdot - 1)}$

Étape 5.3

Multipliez $a$ par $a$ .

$\frac{(a + 1) (a - 1) \cdot 2 a^{2}}{(a - 1) (a^{2} + 1 a + (a^{2} - 1) \cdot - 1)}$

Étape 5.4

Multipliez $a$ par $1$ .

$\frac{(a + 1) (a - 1) \cdot 2 a^{2}}{(a - 1) (a^{2} + a + (a^{2} - 1) \cdot - 1)}$

Étape 5.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(a + 1) (a - 1) \cdot 2 a^{2}}{(a - 1) (a^{2} + a + a^{2} \cdot - 1 - 1 \cdot - 1)}$

Étape 5.6

Déplacez $- 1$ à gauche de $a^{2}$ .

$\frac{(a + 1) (a - 1) \cdot 2 a^{2}}{(a - 1) (a^{2} + a - 1 \cdot a^{2} - 1 \cdot - 1)}$

Étape 5.7

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{(a + 1) (a - 1) \cdot 2 a^{2}}{(a - 1) (a^{2} + a - 1 \cdot a^{2} + 1)}$

Étape 5.8

Réécrivez $- 1 a^{2}$ comme $- a^{2}$ .

$\frac{(a + 1) (a - 1) \cdot 2 a^{2}}{(a - 1) (a^{2} + a - a^{2} + 1)}$

Étape 5.9

Soustrayez $a^{2}$ de $a^{2}$ .

$\frac{(a + 1) (a - 1) \cdot 2 a^{2}}{(a - 1) (a + 0 + 1)}$

Étape 5.10

Additionnez $a$ et $0$ .

$\frac{(a + 1) (a - 1) \cdot 2 a^{2}}{(a - 1) (a + 1)}$

Étape 6

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun de $a + 1$ .

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Étape 6.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(a + 1) (a - 1) \cdot 2 a^{2}}{(a - 1) (a + 1)}$

Étape 6.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(a - 1) \cdot 2 a^{2}}{a - 1}$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun de $a - 1$ .

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Étape 6.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(a - 1) \cdot 2 a^{2}}{a - 1}$

Étape 6.2.2

Divisez $2 a^{2}$ par $1$ .

$2 a^{2}$