Mathématiques de base Exemples

${(1 + \frac{2 i}{n})}^{3}$

Étape 1

Utilisez le théorème du binôme.

$1^{3} + 3 \cdot 1^{2} \frac{2 i}{n} + 3 \cdot 1 {(\frac{2 i}{n})}^{2} + {(\frac{2 i}{n})}^{3}$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 + 3 \cdot 1^{2} \frac{2 i}{n} + 3 \cdot 1 {(\frac{2 i}{n})}^{2} + {(\frac{2 i}{n})}^{3}$

Étape 2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 + 3 \cdot 1 \frac{2 i}{n} + 3 \cdot 1 {(\frac{2 i}{n})}^{2} + {(\frac{2 i}{n})}^{3}$

Étape 2.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$1 + 3 \frac{2 i}{n} + 3 \cdot 1 {(\frac{2 i}{n})}^{2} + {(\frac{2 i}{n})}^{3}$

Étape 2.4

Multipliez $3 \frac{2 i}{n}$ .

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Étape 2.4.1

Associez $3$ et $\frac{2 i}{n}$ .

$1 + \frac{3 (2 i)}{n} + 3 \cdot 1 {(\frac{2 i}{n})}^{2} + {(\frac{2 i}{n})}^{3}$

Étape 2.4.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$1 + \frac{6 i}{n} + 3 \cdot 1 {(\frac{2 i}{n})}^{2} + {(\frac{2 i}{n})}^{3}$

Étape 2.5

Multipliez $3$ par $1$ .

$1 + \frac{6 i}{n} + 3 {(\frac{2 i}{n})}^{2} + {(\frac{2 i}{n})}^{3}$

Étape 2.6

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 2.6.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{2 i}{n}$ .

$1 + \frac{6 i}{n} + 3 \frac{{(2 i)}^{2}}{n^{2}} + {(\frac{2 i}{n})}^{3}$

Étape 2.6.2

Appliquez la règle de produit à $2 i$ .

$1 + \frac{6 i}{n} + 3 \frac{2^{2} i^{2}}{n^{2}} + {(\frac{2 i}{n})}^{3}$

Étape 2.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.7.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$1 + \frac{6 i}{n} + 3 \frac{4 i^{2}}{n^{2}} + {(\frac{2 i}{n})}^{3}$

Étape 2.7.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$1 + \frac{6 i}{n} + 3 \frac{4 \cdot - 1}{n^{2}} + {(\frac{2 i}{n})}^{3}$

Étape 2.8

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$1 + \frac{6 i}{n} + 3 \frac{- 4}{n^{2}} + {(\frac{2 i}{n})}^{3}$

Étape 2.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$1 + \frac{6 i}{n} + 3 (- \frac{4}{n^{2}}) + {(\frac{2 i}{n})}^{3}$

Étape 2.10

Multipliez $3 (- \frac{4}{n^{2}})$ .

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Étape 2.10.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$1 + \frac{6 i}{n} - 3 \frac{4}{n^{2}} + {(\frac{2 i}{n})}^{3}$

Étape 2.10.2

Associez $- 3$ et $\frac{4}{n^{2}}$ .

$1 + \frac{6 i}{n} + \frac{- 3 \cdot 4}{n^{2}} + {(\frac{2 i}{n})}^{3}$

Étape 2.10.3

Multipliez $- 3$ par $4$ .

$1 + \frac{6 i}{n} + \frac{- 12}{n^{2}} + {(\frac{2 i}{n})}^{3}$

Étape 2.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$1 + \frac{6 i}{n} - \frac{12}{n^{2}} + {(\frac{2 i}{n})}^{3}$

Étape 2.12

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 2.12.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{2 i}{n}$ .

$1 + \frac{6 i}{n} - \frac{12}{n^{2}} + \frac{{(2 i)}^{3}}{n^{3}}$

Étape 2.12.2

Appliquez la règle de produit à $2 i$ .

$1 + \frac{6 i}{n} - \frac{12}{n^{2}} + \frac{2^{3} i^{3}}{n^{3}}$

Étape 2.13

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.13.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$1 + \frac{6 i}{n} - \frac{12}{n^{2}} + \frac{8 i^{3}}{n^{3}}$

Étape 2.13.2

Factorisez $i^{2}$ .

$1 + \frac{6 i}{n} - \frac{12}{n^{2}} + \frac{8 (i^{2} \cdot i)}{n^{3}}$

Étape 2.13.3

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$1 + \frac{6 i}{n} - \frac{12}{n^{2}} + \frac{8 (- 1 \cdot i)}{n^{3}}$

Étape 2.13.4

Réécrivez $- 1 i$ comme $- i$ .

$1 + \frac{6 i}{n} - \frac{12}{n^{2}} + \frac{8 \cdot - 1 i}{n^{3}}$

Étape 2.13.5

Associez les exposants.

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Étape 2.13.5.1

Factorisez le signe négatif.

$1 + \frac{6 i}{n} - \frac{12}{n^{2}} + \frac{- (8 i)}{n^{3}}$

Étape 2.13.5.2

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$1 + \frac{6 i}{n} - \frac{12}{n^{2}} + \frac{- 8 i}{n^{3}}$

Étape 2.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$1 + \frac{6 i}{n} - \frac{12}{n^{2}} - \frac{8 i}{n^{3}}$