Mathématiques de base Exemples

$\frac{z^{2} - 9}{25 z + 75} \cdot \frac{125 z + 375}{5 z^{2} - 30 z + 45}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{z^{2} - 3^{2}}{25 z + 75} \cdot \frac{125 z + 375}{5 z^{2} - 30 z + 45}$

Étape 1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = z$ et $b = 3$ .

$\frac{(z + 3) (z - 3)}{25 z + 75} \cdot \frac{125 z + 375}{5 z^{2} - 30 z + 45}$

Étape 2

Simplifiez en factorisant.

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Étape 2.1

Factorisez $25$ à partir de $25 z + 75$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $25$ à partir de $25 z$ .

$\frac{(z + 3) (z - 3)}{25 (z) + 75} \cdot \frac{125 z + 375}{5 z^{2} - 30 z + 45}$

Étape 2.1.2

Factorisez $25$ à partir de $75$ .

$\frac{(z + 3) (z - 3)}{25 z + 25 \cdot 3} \cdot \frac{125 z + 375}{5 z^{2} - 30 z + 45}$

Étape 2.1.3

Factorisez $25$ à partir de $25 z + 25 \cdot 3$ .

$\frac{(z + 3) (z - 3)}{25 (z + 3)} \cdot \frac{125 z + 375}{5 z^{2} - 30 z + 45}$

Étape 2.2

Factorisez $125$ à partir de $125 z + 375$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $125$ à partir de $125 z$ .

$\frac{(z + 3) (z - 3)}{25 (z + 3)} \cdot \frac{125 (z) + 375}{5 z^{2} - 30 z + 45}$

Étape 2.2.2

Factorisez $125$ à partir de $375$ .

$\frac{(z + 3) (z - 3)}{25 (z + 3)} \cdot \frac{125 z + 125 \cdot 3}{5 z^{2} - 30 z + 45}$

Étape 2.2.3

Factorisez $125$ à partir de $125 z + 125 \cdot 3$ .

$\frac{(z + 3) (z - 3)}{25 (z + 3)} \cdot \frac{125 (z + 3)}{5 z^{2} - 30 z + 45}$

Étape 3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1

Factorisez $5$ à partir de $5 z^{2} - 30 z + 45$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $5$ à partir de $5 z^{2}$ .

$\frac{(z + 3) (z - 3)}{25 (z + 3)} \cdot \frac{125 (z + 3)}{5 (z^{2}) - 30 z + 45}$

Étape 3.1.2

Factorisez $5$ à partir de $- 30 z$ .

$\frac{(z + 3) (z - 3)}{25 (z + 3)} \cdot \frac{125 (z + 3)}{5 (z^{2}) + 5 (- 6 z) + 45}$

Étape 3.1.3

Factorisez $5$ à partir de $45$ .

$\frac{(z + 3) (z - 3)}{25 (z + 3)} \cdot \frac{125 (z + 3)}{5 z^{2} + 5 (- 6 z) + 5 \cdot 9}$

Étape 3.1.4

Factorisez $5$ à partir de $5 z^{2} + 5 (- 6 z)$ .

$\frac{(z + 3) (z - 3)}{25 (z + 3)} \cdot \frac{125 (z + 3)}{5 (z^{2} - 6 z) + 5 \cdot 9}$

Étape 3.1.5

Factorisez $5$ à partir de $5 (z^{2} - 6 z) + 5 \cdot 9$ .

$\frac{(z + 3) (z - 3)}{25 (z + 3)} \cdot \frac{125 (z + 3)}{5 (z^{2} - 6 z + 9)}$

Étape 3.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 3.2.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{(z + 3) (z - 3)}{25 (z + 3)} \cdot \frac{125 (z + 3)}{5 (z^{2} - 6 z + 3^{2})}$

Étape 3.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$6 z = 2 \cdot z \cdot 3$

Étape 3.2.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{(z + 3) (z - 3)}{25 (z + 3)} \cdot \frac{125 (z + 3)}{5 (z^{2} - 2 \cdot z \cdot 3 + 3^{2})}$

Étape 3.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = z$ et $b = 3$ .

$\frac{(z + 3) (z - 3)}{25 (z + 3)} \cdot \frac{125 (z + 3)}{5 {(z - 3)}^{2}}$

Étape 4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1

Associez.

$\frac{(z + 3) (z - 3) (125 (z + 3))}{25 (z + 3) (5 {(z - 3)}^{2})}$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun de $z + 3$ .

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(z + 3) (z - 3) (125 (z + 3))}{25 (z + 3) (5 {(z - 3)}^{2})}$

Étape 4.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(z - 3) (125 (z + 3))}{25 (5 {(z - 3)}^{2})}$

Étape 5

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.1

Factorisez $z - 3$ à partir de $25 (5 {(z - 3)}^{2})$ .

$\frac{(z - 3) (125 (z + 3))}{(z - 3) (25 (5 (z - 3)))}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(z - 3) (125 (z + 3))}{(z - 3) (25 (5 (z - 3)))}$

Étape 5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{125 (z + 3)}{25 (5 (z - 3))}$

Étape 6

Annulez le facteur commun à $125$ et $25$ .

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Étape 6.1

Factorisez $25$ à partir de $125 (z + 3)$ .

$\frac{25 (5 (z + 3))}{25 (5 (z - 3))}$

Étape 6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{25 (5 (z + 3))}{25 (5 (z - 3))}$

Étape 6.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{5 (z + 3)}{5 (z - 3)}$

Étape 7

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 (z + 3)}{5 (z - 3)}$

Étape 7.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{z + 3}{z - 3}$