Mathématiques de base Exemples

$\sqrt[3]{\frac{x^{3}}{c y^{4}}} = \frac{x}{4 y (\sqrt[3]{y})}$

Étape 1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${\sqrt[3]{\frac{x^{3}}{c y^{4}}}}^{3} = {(\frac{x}{4 y (\sqrt[3]{y})})}^{3}$

Étape 2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{\frac{x^{3}}{c y^{4}}}$ comme ${(\frac{x^{3}}{c y^{4}})}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(\frac{x^{3}}{c y^{4}})}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(\frac{x}{4 y (\sqrt[3]{y})})}^{3}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez ${({(\frac{x^{3}}{c y^{4}})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(\frac{x^{3}}{c y^{4}})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{x^{3}}{c y^{4}})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{x}{4 y (\sqrt[3]{y})})}^{3}$

Étape 2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(\frac{x^{3}}{c y^{4}})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{x}{4 y (\sqrt[3]{y})})}^{3}$

Étape 2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(\frac{x^{3}}{c y^{4}})}^{1} = {(\frac{x}{4 y (\sqrt[3]{y})})}^{3}$

Étape 2.2.1.2

Simplifiez

$\frac{x^{3}}{c y^{4}} = {(\frac{x}{4 y (\sqrt[3]{y})})}^{3}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Simplifiez ${(\frac{x}{4 y (\sqrt[3]{y})})}^{3}$ .

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Étape 2.3.1.1

Multipliez $\frac{x}{4 y (\sqrt[3]{y})}$ par $\frac{{\sqrt[3]{y}}^{2}}{{\sqrt[3]{y}}^{2}}$ .

$\frac{x^{3}}{c y^{4}} = {(\frac{x}{4 y (\sqrt[3]{y})} \cdot \frac{{\sqrt[3]{y}}^{2}}{{\sqrt[3]{y}}^{2}})}^{3}$

Étape 2.3.1.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.3.1.2.1

Multipliez $\frac{x}{4 y (\sqrt[3]{y})}$ par $\frac{{\sqrt[3]{y}}^{2}}{{\sqrt[3]{y}}^{2}}$ .

$\frac{x^{3}}{c y^{4}} = {(\frac{x {\sqrt[3]{y}}^{2}}{4 y (\sqrt[3]{y}) {\sqrt[3]{y}}^{2}})}^{3}$

Étape 2.3.1.2.2

Déplacez $\sqrt[3]{y}$ .

$\frac{x^{3}}{c y^{4}} = {(\frac{x {\sqrt[3]{y}}^{2}}{4 y (\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{y}}^{2})})}^{3}$

Étape 2.3.1.2.3

Élevez $\sqrt[3]{y}$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{3}}{c y^{4}} = {(\frac{x {\sqrt[3]{y}}^{2}}{4 y ({\sqrt[3]{y}}^{1} {\sqrt[3]{y}}^{2})})}^{3}$

Étape 2.3.1.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{3}}{c y^{4}} = {(\frac{x {\sqrt[3]{y}}^{2}}{4 y {\sqrt[3]{y}}^{1 + 2}})}^{3}$

Étape 2.3.1.2.5

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{x^{3}}{c y^{4}} = {(\frac{x {\sqrt[3]{y}}^{2}}{4 y {\sqrt[3]{y}}^{3}})}^{3}$

Étape 2.3.1.2.6

Réécrivez ${\sqrt[3]{y}}^{3}$ comme $y$ .

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Étape 2.3.1.2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{y}$ comme $y^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{x^{3}}{c y^{4}} = {(\frac{x {\sqrt[3]{y}}^{2}}{4 y {(y^{\frac{1}{3}})}^{3}})}^{3}$

Étape 2.3.1.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{3}}{c y^{4}} = {(\frac{x {\sqrt[3]{y}}^{2}}{4 y \cdot y^{\frac{1}{3} \cdot 3}})}^{3}$

Étape 2.3.1.2.6.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$\frac{x^{3}}{c y^{4}} = {(\frac{x {\sqrt[3]{y}}^{2}}{4 y \cdot y^{\frac{3}{3}}})}^{3}$

Étape 2.3.1.2.6.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.3.1.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{3}}{c y^{4}} = {(\frac{x {\sqrt[3]{y}}^{2}}{4 y \cdot y^{\frac{3}{3}}})}^{3}$

Étape 2.3.1.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{3}}{c y^{4}} = {(\frac{x {\sqrt[3]{y}}^{2}}{4 y \cdot y^{1}})}^{3}$

Étape 2.3.1.2.6.5

Simplifiez

$\frac{x^{3}}{c y^{4}} = {(\frac{x {\sqrt[3]{y}}^{2}}{4 y \cdot y})}^{3}$

Étape 2.3.1.3

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.1.3.1

Déplacez $y$ .

$\frac{x^{3}}{c y^{4}} = {(\frac{x {\sqrt[3]{y}}^{2}}{4 (y \cdot y)})}^{3}$

Étape 2.3.1.3.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{x^{3}}{c y^{4}} = {(\frac{x {\sqrt[3]{y}}^{2}}{4 y^{2}})}^{3}$

Étape 2.3.1.4

Réécrivez ${\sqrt[3]{y}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{y^{2}}$ .

$\frac{x^{3}}{c y^{4}} = {(\frac{x \sqrt[3]{y^{2}}}{4 y^{2}})}^{3}$

Étape 2.3.1.5

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 2.3.1.5.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{x \sqrt[3]{y^{2}}}{4 y^{2}}$ .

$\frac{x^{3}}{c y^{4}} = \frac{{(x \sqrt[3]{y^{2}})}^{3}}{{(4 y^{2})}^{3}}$

Étape 2.3.1.5.2

Appliquez la règle de produit à $x \sqrt[3]{y^{2}}$ .

$\frac{x^{3}}{c y^{4}} = \frac{x^{3} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{3}}{{(4 y^{2})}^{3}}$

Étape 2.3.1.5.3

Appliquez la règle de produit à $4 y^{2}$ .

$\frac{x^{3}}{c y^{4}} = \frac{x^{3} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{3}}{4^{3} {(y^{2})}^{3}}$

Étape 2.3.1.6

Réécrivez ${\sqrt[3]{y^{2}}}^{3}$ comme $y^{2}$ .

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Étape 2.3.1.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{y^{2}}$ comme $y^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{x^{3}}{c y^{4}} = \frac{x^{3} {(y^{\frac{2}{3}})}^{3}}{4^{3} {(y^{2})}^{3}}$

Étape 2.3.1.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{3}}{c y^{4}} = \frac{x^{3} y^{\frac{2}{3} \cdot 3}}{4^{3} {(y^{2})}^{3}}$

Étape 2.3.1.6.3

Associez $\frac{2}{3}$ et $3$ .

$\frac{x^{3}}{c y^{4}} = \frac{x^{3} y^{\frac{2 \cdot 3}{3}}}{4^{3} {(y^{2})}^{3}}$

Étape 2.3.1.6.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{x^{3}}{c y^{4}} = \frac{x^{3} y^{\frac{6}{3}}}{4^{3} {(y^{2})}^{3}}$

Étape 2.3.1.6.5

Annulez le facteur commun à $6$ et $3$ .

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Étape 2.3.1.6.5.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\frac{x^{3}}{c y^{4}} = \frac{x^{3} y^{\frac{3 \cdot 2}{3}}}{4^{3} {(y^{2})}^{3}}$

Étape 2.3.1.6.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.1.6.5.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{x^{3}}{c y^{4}} = \frac{x^{3} y^{\frac{3 \cdot 2}{3 (1)}}}{4^{3} {(y^{2})}^{3}}$

Étape 2.3.1.6.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{3}}{c y^{4}} = \frac{x^{3} y^{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1}}}{4^{3} {(y^{2})}^{3}}$

Étape 2.3.1.6.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{3}}{c y^{4}} = \frac{x^{3} y^{\frac{2}{1}}}{4^{3} {(y^{2})}^{3}}$

Étape 2.3.1.6.5.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$\frac{x^{3}}{c y^{4}} = \frac{x^{3} y^{2}}{4^{3} {(y^{2})}^{3}}$

Étape 2.3.1.7

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.3.1.7.1

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$\frac{x^{3}}{c y^{4}} = \frac{x^{3} y^{2}}{64 {(y^{2})}^{3}}$

Étape 2.3.1.7.2

Multipliez les exposants dans ${(y^{2})}^{3}$ .

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Étape 2.3.1.7.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{3}}{c y^{4}} = \frac{x^{3} y^{2}}{64 y^{2 \cdot 3}}$

Étape 2.3.1.7.2.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{x^{3}}{c y^{4}} = \frac{x^{3} y^{2}}{64 y^{6}}$

Étape 2.3.1.8

Annulez le facteur commun à $y^{2}$ et $y^{6}$ .

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Étape 2.3.1.8.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $x^{3} y^{2}$ .

$\frac{x^{3}}{c y^{4}} = \frac{y^{2} x^{3}}{64 y^{6}}$

Étape 2.3.1.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.1.8.2.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $64 y^{6}$ .

$\frac{x^{3}}{c y^{4}} = \frac{y^{2} x^{3}}{y^{2} (64 y^{4})}$

Étape 2.3.1.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{3}}{c y^{4}} = \frac{y^{2} x^{3}}{y^{2} (64 y^{4})}$

Étape 2.3.1.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{3}}{c y^{4}} = \frac{x^{3}}{64 y^{4}}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$c y^{4}, 64 y^{4}$

Étape 3.1.2

Since $c y^{4}, 64 y^{4}$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 64$ then find LCM for the variable part $c^{1}, y^{4}, y^{4}$ .

Étape 3.1.3

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 3.1.4

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 3.1.5

Les facteurs premiers pour $64$ sont $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Étape 3.1.5.1

$64$ a des facteurs de $2$ et $32$ .

$2 \cdot 32$

Étape 3.1.5.2

$32$ a des facteurs de $2$ et $16$ .

$2 \cdot 2 \cdot 16$

Étape 3.1.5.3

$16$ a des facteurs de $2$ et $8$ .

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 8$

Étape 3.1.5.4

$8$ a des facteurs de $2$ et $4$ .

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 4$

Étape 3.1.5.5

$4$ a des facteurs de $2$ et $2$ .

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

Étape 3.1.6

Multipliez $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Étape 3.1.6.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

Étape 3.1.6.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$8 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

Étape 3.1.6.3

Multipliez $8$ par $2$ .

$16 \cdot 2 \cdot 2$

Étape 3.1.6.4

Multipliez $16$ par $2$ .

$32 \cdot 2$

Étape 3.1.6.5

Multipliez $32$ par $2$ .

$64$

Étape 3.1.7

Le facteur pour $c^{1}$ est $c$ lui-même.

$c^{1} = c$

$c$ se produit $1$ fois.

Étape 3.1.8

Les facteurs pour $y^{4}$ sont $y \cdot y \cdot y \cdot y$ , qui correspond à $y$ multipliés entre eux $4$ fois.

$y^{4} = y \cdot y \cdot y \cdot y$

$y$ se produit $4$ fois.

Étape 3.1.9

Le plus petit multiple commun de $c^{1}, y^{4}, y^{4}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$c \cdot y \cdot y \cdot y \cdot y$

Étape 3.1.10

Simplifiez $c \cdot y \cdot y \cdot y \cdot y$ .

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Étape 3.1.10.1

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.10.1.1

Déplacez $y$ .

$c \cdot (y \cdot y) \cdot y \cdot y$

Étape 3.1.10.1.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$c \cdot y^{2} \cdot y \cdot y$

Étape 3.1.10.2

Multipliez $y^{2}$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.10.2.1

Déplacez $y$ .

$c \cdot (y \cdot y^{2}) \cdot y$

Étape 3.1.10.2.2

Multipliez $y$ par $y^{2}$ .

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Étape 3.1.10.2.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$c \cdot (y^{1} y^{2}) \cdot y$

Étape 3.1.10.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$c \cdot y^{1 + 2} \cdot y$

Étape 3.1.10.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$c \cdot y^{3} \cdot y$

Étape 3.1.10.3

Multipliez $y^{3}$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.10.3.1

Déplacez $y$ .

$c \cdot (y \cdot y^{3})$

Étape 3.1.10.3.2

Multipliez $y$ par $y^{3}$ .

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Étape 3.1.10.3.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$c \cdot (y^{1} y^{3})$

Étape 3.1.10.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$c \cdot y^{1 + 3}$

Étape 3.1.10.3.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$c \cdot y^{4}$

$c y^{4}$

Étape 3.1.11

Le plus petit multiple commun pour $c y^{4}, 64 y^{4}$ est la partie numérique $64$ multipliée par la partie variable.

$64 c y^{4}$

Étape 3.2

Multiplier chaque terme dans $\frac{x^{3}}{c y^{4}} = \frac{x^{3}}{64 y^{4}}$ par $64 c y^{4}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.2.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{x^{3}}{c y^{4}} = \frac{x^{3}}{64 y^{4}}$ par $64 c y^{4}$ .

$\frac{x^{3}}{c y^{4}} (64 c y^{4}) = \frac{x^{3}}{64 y^{4}} (64 c y^{4})$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$64 \frac{x^{3}}{c y^{4}} (c y^{4}) = \frac{x^{3}}{64 y^{4}} (64 c y^{4})$

Étape 3.2.2.2

Associez $64$ et $\frac{x^{3}}{c y^{4}}$ .

$\frac{64 x^{3}}{c y^{4}} (c y^{4}) = \frac{x^{3}}{64 y^{4}} (64 c y^{4})$

Étape 3.2.2.3

Annulez le facteur commun de $c y^{4}$ .

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Étape 3.2.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{64 x^{3}}{c y^{4}} (c y^{4}) = \frac{x^{3}}{64 y^{4}} (64 c y^{4})$

Étape 3.2.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$64 x^{3} = \frac{x^{3}}{64 y^{4}} (64 c y^{4})$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$64 x^{3} = 64 \frac{x^{3}}{64 y^{4}} (c y^{4})$

Étape 3.2.3.2

Annulez le facteur commun de $64$ .

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Étape 3.2.3.2.1

Factorisez $64$ à partir de $64 y^{4}$ .

$64 x^{3} = 64 \frac{x^{3}}{64 (y^{4})} (c y^{4})$

Étape 3.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$64 x^{3} = 64 \frac{x^{3}}{64 y^{4}} (c y^{4})$

Étape 3.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$64 x^{3} = \frac{x^{3}}{y^{4}} (c y^{4})$

Étape 3.2.3.3

Annulez le facteur commun de $y^{4}$ .

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Étape 3.2.3.3.1

Factorisez $y^{4}$ à partir de $c y^{4}$ .

$64 x^{3} = \frac{x^{3}}{y^{4}} (y^{4} c)$

Étape 3.2.3.3.2

Annulez le facteur commun.

$64 x^{3} = \frac{x^{3}}{y^{4}} (y^{4} c)$

Étape 3.2.3.3.3

Réécrivez l’expression.

$64 x^{3} = x^{3} c$

Étape 3.3

Résolvez l’équation.

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Étape 3.3.1

Soustrayez $x^{3} c$ des deux côtés de l’équation.

$64 x^{3} - x^{3} c = 0$

Étape 3.3.2

Factorisez $x^{3}$ à partir de $64 x^{3} - x^{3} c$ .

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Étape 3.3.2.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $64 x^{3}$ .

$x^{3} \cdot 64 - x^{3} c = 0$

Étape 3.3.2.2

Factorisez $x^{3}$ à partir de $- x^{3} c$ .

$x^{3} \cdot 64 + x^{3} (- 1 c) = 0$

Étape 3.3.2.3

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{3} \cdot 64 + x^{3} (- 1 c)$ .

$x^{3} (64 - 1 c) = 0$

Étape 3.3.3

Réécrivez $- 1 c$ comme $- c$ .

$x^{3} (64 - c) = 0$

Étape 3.3.4

Divisez chaque terme dans $x^{3} (64 - c) = 0$ par $64 - c$ et simplifiez.

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Étape 3.3.4.1

Divisez chaque terme dans $x^{3} (64 - c) = 0$ par $64 - c$ .

$\frac{x^{3} (64 - c)}{64 - c} = \frac{0}{64 - c}$

Étape 3.3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.4.2.1

Annulez le facteur commun de $64 - c$ .

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Étape 3.3.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{3} (64 - c)}{64 - c} = \frac{0}{64 - c}$

Étape 3.3.4.2.1.2

Divisez $x^{3}$ par $1$ .

$x^{3} = \frac{0}{64 - c}$

Étape 3.3.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.4.3.1

Divisez $0$ par $64 - c$ .

$x^{3} = 0$

Étape 3.3.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Étape 3.3.6

Simplifiez $\sqrt[3]{0}$ .

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Étape 3.3.6.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 3.3.6.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$x = 0$

Étape 4

La variable $y$ a été annulée.

Tous les nombres réels

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Tous les nombres réels

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$