Mathématiques de base Exemples

\frac{\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}}}{2 \cdot \sqrt[6]{64^{- 3}}} = 4

$\frac{\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}}}{2 \cdot \sqrt[6]{64^{- 3}}} = 4$

Étape 1

Multipliez les deux côtés de l’équation par

2 \cdot \sqrt[6]{64^{- 3}}

$2 \cdot \sqrt[6]{64^{- 3}}$ .

2 \cdot \sqrt[6]{64^{- 3}} \frac{\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}}}{2 \cdot \sqrt[6]{64^{- 3}}} = 2 \cdot \sqrt[6]{64^{- 3}} \cdot 4

$2 \cdot \sqrt[6]{64^{- 3}} \frac{\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}}}{2 \cdot \sqrt[6]{64^{- 3}}} = 2 \cdot \sqrt[6]{64^{- 3}} \cdot 4$

Étape 2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1.1

Annulez le facteur commun de

2 \cdot \sqrt[6]{64^{- 3}}

$2 \cdot \sqrt[6]{64^{- 3}}$ .

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Étape 2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

2 \cdot \sqrt[6]{64^{- 3}} \frac{\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}}}{2 \cdot \sqrt[6]{64^{- 3}}} = 2 \cdot \sqrt[6]{64^{- 3}} \cdot 4

$2 \cdot \sqrt[6]{64^{- 3}} \frac{\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}}}{2 \cdot \sqrt[6]{64^{- 3}}} = 2 \cdot \sqrt[6]{64^{- 3}} \cdot 4$

Étape 2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = 2 \cdot \sqrt[6]{64^{- 3}} \cdot 4

$\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = 2 \cdot \sqrt[6]{64^{- 3}} \cdot 4$

\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = 2 \cdot \sqrt[6]{64^{- 3}} \cdot 4

$\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = 2 \cdot \sqrt[6]{64^{- 3}} \cdot 4$

\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = 2 \cdot \sqrt[6]{64^{- 3}} \cdot 4

$\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = 2 \cdot \sqrt[6]{64^{- 3}} \cdot 4$

Étape 2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.1

Simplifiez

2 \cdot \sqrt[6]{64^{- 3}} \cdot 4

$2 \cdot \sqrt[6]{64^{- 3}} \cdot 4$ .

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Étape 2.2.1.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif

b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = 2 \cdot \sqrt[6]{\frac{1}{64^{3}}} \cdot 4

$\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = 2 \cdot \sqrt[6]{\frac{1}{64^{3}}} \cdot 4$

Étape 2.2.1.2

Élevez

64

$64$ à la puissance

3

$3$ .

\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = 2 \cdot \sqrt[6]{\frac{1}{262144}} \cdot 4

$\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = 2 \cdot \sqrt[6]{\frac{1}{262144}} \cdot 4$

Étape 2.2.1.3

Réécrivez

\sqrt[6]{\frac{1}{262144}}

$\sqrt[6]{\frac{1}{262144}}$ comme

\frac{\sqrt[6]{1}}{\sqrt[6]{262144}}

$\frac{\sqrt[6]{1}}{\sqrt[6]{262144}}$ .

\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = 2 \cdot \frac{\sqrt[6]{1}}{\sqrt[6]{262144}} \cdot 4

$\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = 2 \cdot \frac{\sqrt[6]{1}}{\sqrt[6]{262144}} \cdot 4$

Étape 2.2.1.4

Toute racine de

1

$1$ est

1

$1$ .

\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt[6]{262144}} \cdot 4

$\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt[6]{262144}} \cdot 4$

Étape 2.2.1.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.2.1.5.1

Réécrivez

262144

$262144$ comme

8^{6}

$8^{6}$ .

\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt[6]{8^{6}}} \cdot 4

$\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt[6]{8^{6}}} \cdot 4$

Étape 2.2.1.5.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = 2 \cdot \frac{1}{8} \cdot 4

$\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = 2 \cdot \frac{1}{8} \cdot 4$

\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = 2 \cdot \frac{1}{8} \cdot 4

$\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = 2 \cdot \frac{1}{8} \cdot 4$

Étape 2.2.1.6

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 2.2.1.6.1

Annulez le facteur commun de

2

$2$ .

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Étape 2.2.1.6.1.1

Factorisez

2

$2$ à partir de

8

$8$ .

\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = 2 \cdot \frac{1}{2 (4)} \cdot 4

$\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = 2 \cdot \frac{1}{2 (4)} \cdot 4$

Étape 2.2.1.6.1.2

Annulez le facteur commun.

\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = 2 \cdot \frac{1}{2 \cdot 4} \cdot 4

$\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = 2 \cdot \frac{1}{2 \cdot 4} \cdot 4$

Étape 2.2.1.6.1.3

Réécrivez l’expression.

\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = \frac{1}{4} \cdot 4

$\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = \frac{1}{4} \cdot 4$

\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = \frac{1}{4} \cdot 4

$\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = \frac{1}{4} \cdot 4$

Étape 2.2.1.6.2

Annulez le facteur commun de

4

$4$ .

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Étape 2.2.1.6.2.1

Annulez le facteur commun.

\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = \frac{1}{4} \cdot 4

$\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = \frac{1}{4} \cdot 4$

Étape 2.2.1.6.2.2

Réécrivez l’expression.

\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = 1

$\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = 1$

\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = 1

$\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = 1$

\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = 1

$\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = 1$

\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = 1

$\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = 1$

\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = 1

$\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = 1$

\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = 1

$\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = 1$

Étape 3

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

{\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}}}^{3} = 1^{3}

${\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}}}^{3} = 1^{3}$

Étape 4

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 4.1

Utilisez

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire

\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}}

$\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}}$ comme

16^{\frac{\frac{z}{2}}{3}}

$16^{\frac{\frac{z}{2}}{3}}$ .

{(16^{\frac{\frac{z}{2}}{3}})}^{3} = 1^{3}

${(16^{\frac{\frac{z}{2}}{3}})}^{3} = 1^{3}$

Étape 4.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

{(16^{\frac{z}{2} \cdot \frac{1}{3}})}^{3} = 1^{3}

${(16^{\frac{z}{2} \cdot \frac{1}{3}})}^{3} = 1^{3}$

Étape 4.3

Multipliez

\frac{z}{2} \cdot \frac{1}{3}

$\frac{z}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Étape 4.3.1

Multipliez

\frac{z}{2}

$\frac{z}{2}$ par

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ .

{(16^{\frac{z}{2 \cdot 3}})}^{3} = 1^{3}

${(16^{\frac{z}{2 \cdot 3}})}^{3} = 1^{3}$

Étape 4.3.2

Multipliez

2

$2$ par

3

$3$ .

{(16^{\frac{z}{6}})}^{3} = 1^{3}

${(16^{\frac{z}{6}})}^{3} = 1^{3}$

{(16^{\frac{z}{6}})}^{3} = 1^{3}

${(16^{\frac{z}{6}})}^{3} = 1^{3}$

Étape 4.4

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.4.1

Multipliez les exposants dans

{(16^{\frac{z}{6}})}^{3}

${(16^{\frac{z}{6}})}^{3}$ .

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Étape 4.4.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

16^{\frac{z}{6} \cdot 3} = 1^{3}

$16^{\frac{z}{6} \cdot 3} = 1^{3}$

Étape 4.4.1.2

Annulez le facteur commun de

3

$3$ .

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Étape 4.4.1.2.1

Factorisez

3

$3$ à partir de

6

$6$ .

16^{\frac{z}{3 (2)} \cdot 3} = 1^{3}

$16^{\frac{z}{3 (2)} \cdot 3} = 1^{3}$

Étape 4.4.1.2.2

Annulez le facteur commun.

16^{\frac{z}{3 \cdot 2} \cdot 3} = 1^{3}

$16^{\frac{z}{3 \cdot 2} \cdot 3} = 1^{3}$

Étape 4.4.1.2.3

Réécrivez l’expression.

16^{\frac{z}{2}} = 1^{3}

$16^{\frac{z}{2}} = 1^{3}$

16^{\frac{z}{2}} = 1^{3}

$16^{\frac{z}{2}} = 1^{3}$

16^{\frac{z}{2}} = 1^{3}

$16^{\frac{z}{2}} = 1^{3}$

16^{\frac{z}{2}} = 1^{3}

$16^{\frac{z}{2}} = 1^{3}$

Étape 4.5

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.5.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

16^{\frac{z}{2}} = 1

$16^{\frac{z}{2}} = 1$

16^{\frac{z}{2}} = 1

$16^{\frac{z}{2}} = 1$

16^{\frac{z}{2}} = 1

$16^{\frac{z}{2}} = 1$

Étape 5

Résolvez

z

$z$ .

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Étape 5.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

\ln (16^{\frac{z}{2}}) = \ln (1)

$\ln (16^{\frac{z}{2}}) = \ln (1)$

Étape 5.2

Développez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Développez

\ln (16^{\frac{z}{2}})

$\ln (16^{\frac{z}{2}})$ en déplaçant

\frac{z}{2}

$\frac{z}{2}$ hors du logarithme.

\frac{z}{2} \ln (16) = \ln (1)

$\frac{z}{2} \ln (16) = \ln (1)$

Étape 5.2.2

Associez

\frac{z}{2}

$\frac{z}{2}$ et

\ln (16)

$\ln (16)$ .

\frac{z \ln (16)}{2} = \ln (1)

$\frac{z \ln (16)}{2} = \ln (1)$

\frac{z \ln (16)}{2} = \ln (1)

$\frac{z \ln (16)}{2} = \ln (1)$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

Le logarithme naturel de

1

$1$ est

0

$0$ .

\frac{z \ln (16)}{2} = 0

$\frac{z \ln (16)}{2} = 0$

\frac{z \ln (16)}{2} = 0

$\frac{z \ln (16)}{2} = 0$

Étape 5.4

Définissez le numérateur égal à zéro.

z \ln (16) = 0

$z \ln (16) = 0$

Étape 5.5

Divisez chaque terme dans

z \ln (16) = 0

$z \ln (16) = 0$ par

\ln (16)

$\ln (16)$ et simplifiez.

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Étape 5.5.1

Divisez chaque terme dans

z \ln (16) = 0

$z \ln (16) = 0$ par

\ln (16)

$\ln (16)$ .

\frac{z \ln (16)}{\ln (16)} = \frac{0}{\ln (16)}

$\frac{z \ln (16)}{\ln (16)} = \frac{0}{\ln (16)}$

Étape 5.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.1

Annulez le facteur commun de

\ln (16)

$\ln (16)$ .

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Étape 5.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

\frac{z \ln (16)}{\ln (16)} = \frac{0}{\ln (16)}

$\frac{z \ln (16)}{\ln (16)} = \frac{0}{\ln (16)}$

Étape 5.5.2.1.2

Divisez

z

$z$ par

1

$1$ .

z = \frac{0}{\ln (16)}

$z = \frac{0}{\ln (16)}$

z = \frac{0}{\ln (16)}

$z = \frac{0}{\ln (16)}$

z = \frac{0}{\ln (16)}

$z = \frac{0}{\ln (16)}$

Étape 5.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.3.1

Réécrivez

\ln (16)

$\ln (16)$ comme

\ln (2^{4})

$\ln (2^{4})$ .

z = \frac{0}{\ln (2^{4})}

$z = \frac{0}{\ln (2^{4})}$

Étape 5.5.3.2

Développez

\ln (2^{4})

$\ln (2^{4})$ en déplaçant

4

$4$ hors du logarithme.

z = \frac{0}{4 \ln (2)}

$z = \frac{0}{4 \ln (2)}$

Étape 5.5.3.3

Annulez le facteur commun à

0

$0$ et

4

$4$ .

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Étape 5.5.3.3.1

Factorisez

4

$4$ à partir de

0

$0$ .

z = \frac{4 (0)}{4 \ln (2)}

$z = \frac{4 (0)}{4 \ln (2)}$

Étape 5.5.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.5.3.3.2.1

Factorisez

4

$4$ à partir de

4 \ln (2)

$4 \ln (2)$ .

z = \frac{4 (0)}{4 (\ln (2))}

$z = \frac{4 (0)}{4 (\ln (2))}$

Étape 5.5.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

z = \frac{4 \cdot 0}{4 \ln (2)}

$z = \frac{4 \cdot 0}{4 \ln (2)}$

Étape 5.5.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

z = \frac{0}{\ln (2)}

$z = \frac{0}{\ln (2)}$

z = \frac{0}{\ln (2)}

$z = \frac{0}{\ln (2)}$

z = \frac{0}{\ln (2)}

$z = \frac{0}{\ln (2)}$

Étape 5.5.3.4

Divisez

0

$0$ par

\ln (2)

$\ln (2)$ .

z = 0

$z = 0$

z = 0

$z = 0$

z = 0

$z = 0$

z = 0

$z = 0$