Mathématiques de base Exemples

$\frac{\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}}}{2 \cdot \sqrt[6]{64^{- 3}}} = 4$

Étape 1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2 \cdot \sqrt[6]{64^{- 3}}$ .

$2 \cdot \sqrt[6]{64^{- 3}} \frac{\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}}}{2 \cdot \sqrt[6]{64^{- 3}}} = 2 \cdot \sqrt[6]{64^{- 3}} \cdot 4$

Étape 2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1.1

Annulez le facteur commun de $2 \cdot \sqrt[6]{64^{- 3}}$ .

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Étape 2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot \sqrt[6]{64^{- 3}} \frac{\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}}}{2 \cdot \sqrt[6]{64^{- 3}}} = 2 \cdot \sqrt[6]{64^{- 3}} \cdot 4$

Étape 2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = 2 \cdot \sqrt[6]{64^{- 3}} \cdot 4$

Étape 2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.1

Simplifiez $2 \cdot \sqrt[6]{64^{- 3}} \cdot 4$ .

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Étape 2.2.1.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = 2 \cdot \sqrt[6]{\frac{1}{64^{3}}} \cdot 4$

Étape 2.2.1.2

Élevez $64$ à la puissance $3$ .

$\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = 2 \cdot \sqrt[6]{\frac{1}{262144}} \cdot 4$

Étape 2.2.1.3

Réécrivez $\sqrt[6]{\frac{1}{262144}}$ comme $\frac{\sqrt[6]{1}}{\sqrt[6]{262144}}$ .

$\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = 2 \cdot \frac{\sqrt[6]{1}}{\sqrt[6]{262144}} \cdot 4$

Étape 2.2.1.4

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt[6]{262144}} \cdot 4$

Étape 2.2.1.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.2.1.5.1

Réécrivez $262144$ comme $8^{6}$ .

$\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt[6]{8^{6}}} \cdot 4$

Étape 2.2.1.5.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = 2 \cdot \frac{1}{8} \cdot 4$

Étape 2.2.1.6

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 2.2.1.6.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.1.6.1.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = 2 \cdot \frac{1}{2 (4)} \cdot 4$

Étape 2.2.1.6.1.2

Annulez le facteur commun.

$\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = 2 \cdot \frac{1}{2 \cdot 4} \cdot 4$

Étape 2.2.1.6.1.3

Réécrivez l’expression.

$\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = \frac{1}{4} \cdot 4$

Étape 2.2.1.6.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.2.1.6.2.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = \frac{1}{4} \cdot 4$

Étape 2.2.1.6.2.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = 1$

Étape 3

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}}}^{3} = 1^{3}$

Étape 4

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}}$ comme $16^{\frac{\frac{z}{2}}{3}}$ .

${(16^{\frac{\frac{z}{2}}{3}})}^{3} = 1^{3}$

Étape 4.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

${(16^{\frac{z}{2} \cdot \frac{1}{3}})}^{3} = 1^{3}$

Étape 4.3

Multipliez $\frac{z}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Étape 4.3.1

Multipliez $\frac{z}{2}$ par $\frac{1}{3}$ .

${(16^{\frac{z}{2 \cdot 3}})}^{3} = 1^{3}$

Étape 4.3.2

Multipliez $2$ par $3$ .

${(16^{\frac{z}{6}})}^{3} = 1^{3}$

Étape 4.4

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.4.1

Multipliez les exposants dans ${(16^{\frac{z}{6}})}^{3}$ .

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Étape 4.4.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16^{\frac{z}{6} \cdot 3} = 1^{3}$

Étape 4.4.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.4.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$16^{\frac{z}{3 (2)} \cdot 3} = 1^{3}$

Étape 4.4.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$16^{\frac{z}{3 \cdot 2} \cdot 3} = 1^{3}$

Étape 4.4.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$16^{\frac{z}{2}} = 1^{3}$

Étape 4.5

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.5.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$16^{\frac{z}{2}} = 1$

Étape 5

Résolvez $z$ .

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Étape 5.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (16^{\frac{z}{2}}) = \ln (1)$

Étape 5.2

Développez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Développez $\ln (16^{\frac{z}{2}})$ en déplaçant $\frac{z}{2}$ hors du logarithme.

$\frac{z}{2} \ln (16) = \ln (1)$

Étape 5.2.2

Associez $\frac{z}{2}$ et $\ln (16)$ .

$\frac{z \ln (16)}{2} = \ln (1)$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$\frac{z \ln (16)}{2} = 0$

Étape 5.4

Définissez le numérateur égal à zéro.

$z \ln (16) = 0$

Étape 5.5

Divisez chaque terme dans $z \ln (16) = 0$ par $\ln (16)$ et simplifiez.

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Étape 5.5.1

Divisez chaque terme dans $z \ln (16) = 0$ par $\ln (16)$ .

$\frac{z \ln (16)}{\ln (16)} = \frac{0}{\ln (16)}$

Étape 5.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (16)$ .

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Étape 5.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{z \ln (16)}{\ln (16)} = \frac{0}{\ln (16)}$

Étape 5.5.2.1.2

Divisez $z$ par $1$ .

$z = \frac{0}{\ln (16)}$

Étape 5.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.3.1

Réécrivez $\ln (16)$ comme $\ln (2^{4})$ .

$z = \frac{0}{\ln (2^{4})}$

Étape 5.5.3.2

Développez $\ln (2^{4})$ en déplaçant $4$ hors du logarithme.

$z = \frac{0}{4 \ln (2)}$

Étape 5.5.3.3

Annulez le facteur commun à $0$ et $4$ .

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Étape 5.5.3.3.1

Factorisez $4$ à partir de $0$ .

$z = \frac{4 (0)}{4 \ln (2)}$

Étape 5.5.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.5.3.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4 \ln (2)$ .

$z = \frac{4 (0)}{4 (\ln (2))}$

Étape 5.5.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$z = \frac{4 \cdot 0}{4 \ln (2)}$

Étape 5.5.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$z = \frac{0}{\ln (2)}$

Étape 5.5.3.4

Divisez $0$ par $\ln (2)$ .

$z = 0$