Mathématiques de base Exemples

$({(\frac{3}{5})}^{z} {(\frac{5}{3})}^{2 z}) = \frac{125}{27}$

Étape 1

Simplifiez ${(\frac{3}{5})}^{z} {(\frac{5}{3})}^{2 z}$ .

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Étape 1.1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 1.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{5}$ .

$\frac{3^{z}}{5^{z}} {(\frac{5}{3})}^{2 z} = \frac{125}{27}$

Étape 1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{5}{3}$ .

$\frac{3^{z}}{5^{z}} \cdot \frac{5^{2 z}}{3^{2 z}} = \frac{125}{27}$

Étape 1.2

Associez.

$\frac{3^{z} \cdot 5^{2 z}}{5^{z} \cdot 3^{2 z}} = \frac{125}{27}$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun à $3^{z}$ et $3^{2 z}$ .

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Étape 1.3.1

Factorisez $3^{2 z}$ à partir de $3^{z} \cdot 5^{2 z}$ .

$\frac{3^{2 z} (3^{- z} \cdot 5^{2 z})}{5^{z} \cdot 3^{2 z}} = \frac{125}{27}$

Étape 1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.2.1

Factorisez $3^{2 z}$ à partir de $5^{z} \cdot 3^{2 z}$ .

$\frac{3^{2 z} (3^{- z} \cdot 5^{2 z})}{3^{2 z} \cdot 5^{z}} = \frac{125}{27}$

Étape 1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3^{2 z} (3^{- z} \cdot 5^{2 z})}{3^{2 z} \cdot 5^{z}} = \frac{125}{27}$

Étape 1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3^{- z} \cdot 5^{2 z}}{5^{z}} = \frac{125}{27}$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun à $5^{2 z}$ et $5^{z}$ .

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Étape 1.4.1

Factorisez $5^{z}$ à partir de $3^{- z} \cdot 5^{2 z}$ .

$\frac{5^{z} (3^{- z} \cdot 5^{z})}{5^{z}} = \frac{125}{27}$

Étape 1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.2.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{5^{z} (3^{- z} \cdot 5^{z})}{5^{z} \cdot 1} = \frac{125}{27}$

Étape 1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5^{z} (3^{- z} \cdot 5^{z})}{5^{z} \cdot 1} = \frac{125}{27}$

Étape 1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3^{- z} \cdot 5^{z}}{1} = \frac{125}{27}$

Étape 1.4.2.4

Divisez $3^{- z} \cdot 5^{z}$ par $1$ .

$3^{- z} \cdot 5^{z} = \frac{125}{27}$

Étape 2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (3^{- z} \cdot 5^{z}) = \ln (\frac{125}{27})$

Étape 3

Développez le côté gauche.

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Étape 3.1

Réécrivez $\ln (3^{- z} \cdot 5^{z})$ comme $\ln (3^{- z}) + \ln (5^{z})$ .

$\ln (3^{- z}) + \ln (5^{z}) = \ln (\frac{125}{27})$

Étape 3.2

Développez $\ln (3^{- z})$ en déplaçant $- z$ hors du logarithme.

$- z \ln (3) + \ln (5^{z}) = \ln (\frac{125}{27})$

Étape 3.3

Développez $\ln (5^{z})$ en déplaçant $z$ hors du logarithme.

$- z \ln (3) + z \ln (5) = \ln (\frac{125}{27})$

Étape 4

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$- z \ln (3) + z \ln (5) - \ln (\frac{125}{27}) = 0$

Étape 5

Ajoutez $\ln (\frac{125}{27})$ aux deux côtés de l’équation.

$- z \ln (3) + z \ln (5) = \ln (\frac{125}{27})$

Étape 6

Factorisez $z$ à partir de $- z \ln (3) + z \ln (5)$ .

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Étape 6.1

Factorisez $z$ à partir de $- z \ln (3)$ .

$z (- 1 \ln (3)) + z \ln (5) = \ln (\frac{125}{27})$

Étape 6.2

Factorisez $z$ à partir de $z \ln (5)$ .

$z (- 1 \ln (3)) + z (\ln (5)) = \ln (\frac{125}{27})$

Étape 6.3

Factorisez $z$ à partir de $z (- 1 \ln (3)) + z (\ln (5))$ .

$z (- 1 \ln (3) + \ln (5)) = \ln (\frac{125}{27})$

Étape 7

Réécrivez $- 1 \ln (3)$ comme $- \ln (3)$ .

$z (- \ln (3) + \ln (5)) = \ln (\frac{125}{27})$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $z (- \ln (3) + \ln (5)) = \ln (\frac{125}{27})$ par $- \ln (3) + \ln (5)$ et simplifiez.

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $z (- \ln (3) + \ln (5)) = \ln (\frac{125}{27})$ par $- \ln (3) + \ln (5)$ .

$\frac{z (- \ln (3) + \ln (5))}{- \ln (3) + \ln (5)} = \frac{\ln (\frac{125}{27})}{- \ln (3) + \ln (5)}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $- \ln (3) + \ln (5)$ .

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{z (- \ln (3) + \ln (5))}{- \ln (3) + \ln (5)} = \frac{\ln (\frac{125}{27})}{- \ln (3) + \ln (5)}$

Étape 8.2.1.2

Divisez $z$ par $1$ .

$z = \frac{\ln (\frac{125}{27})}{- \ln (3) + \ln (5)}$

Étape 8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- \ln (3)$ .

$z = \frac{\ln (\frac{125}{27})}{- \ln (3) + \ln (5)}$

Étape 8.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $\ln (5)$ .

$z = \frac{\ln (\frac{125}{27})}{- \ln (3) - 1 (- \ln (5))}$

Étape 8.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- \ln (3) - 1 (- \ln (5))$ .

$z = \frac{\ln (\frac{125}{27})}{- (\ln (3) - \ln (5))}$

Étape 8.3.4

Réécrivez les nombres négatifs.

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Étape 8.3.4.1

Réécrivez $- (\ln (3) - \ln (5))$ comme $- 1 (\ln (3) - \ln (5))$ .

$z = \frac{\ln (\frac{125}{27})}{- 1 (\ln (3) - \ln (5))}$

Étape 8.3.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$z = - \frac{\ln (\frac{125}{27})}{\ln (3) - \ln (5)}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$z = - \frac{\ln (\frac{125}{27})}{\ln (3) - \ln (5)}$

Forme décimale :

$z = 3$