Mathématiques de base Exemples

$16 = 3 (z - 1) (z - 7)$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $3 (z - 1) (z - 7) = 16$ .

$3 (z - 1) (z - 7) = 16$

Étape 2

Divisez chaque terme dans $3 (z - 1) (z - 7) = 16$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 2.1

Divisez chaque terme dans $3 (z - 1) (z - 7) = 16$ par $3$ .

$\frac{3 (z - 1) (z - 7)}{3} = \frac{16}{3}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (z - 1) (z - 7)}{3} = \frac{16}{3}$

Étape 2.2.1.2

Divisez $(z - 1) (z - 7)$ par $1$ .

$(z - 1) (z - 7) = \frac{16}{3}$

Étape 2.2.2

Développez $(z - 1) (z - 7)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$z (z - 7) - 1 (z - 7) = \frac{16}{3}$

Étape 2.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$z \cdot z + z \cdot - 7 - 1 (z - 7) = \frac{16}{3}$

Étape 2.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$z \cdot z + z \cdot - 7 - 1 z - 1 \cdot - 7 = \frac{16}{3}$

Étape 2.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.3.1.1

Multipliez $z$ par $z$ .

$z^{2} + z \cdot - 7 - 1 z - 1 \cdot - 7 = \frac{16}{3}$

Étape 2.2.3.1.2

Déplacez $- 7$ à gauche de $z$ .

$z^{2} - 7 \cdot z - 1 z - 1 \cdot - 7 = \frac{16}{3}$

Étape 2.2.3.1.3

Réécrivez $- 1 z$ comme $- z$ .

$z^{2} - 7 z - z - 1 \cdot - 7 = \frac{16}{3}$

Étape 2.2.3.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 7$ .

$z^{2} - 7 z - z + 7 = \frac{16}{3}$

Étape 2.2.3.2

Soustrayez $z$ de $- 7 z$ .

$z^{2} - 8 z + 7 = \frac{16}{3}$

Étape 3

Déplacez tous les termes du côté gauche de l’équation et simplifiez.

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Étape 3.1

Soustrayez $\frac{16}{3}$ des deux côtés de l’équation.

$z^{2} - 8 z + 7 - \frac{16}{3} = 0$

Étape 3.2

Simplifiez $z^{2} - 8 z + 7 - \frac{16}{3}$ .

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Étape 3.2.1

Pour écrire $7$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$z^{2} - 8 z + 7 \cdot \frac{3}{3} - \frac{16}{3} = 0$

Étape 3.2.2

Associez $7$ et $\frac{3}{3}$ .

$z^{2} - 8 z + \frac{7 \cdot 3}{3} - \frac{16}{3} = 0$

Étape 3.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$z^{2} - 8 z + \frac{7 \cdot 3 - 16}{3} = 0$

Étape 3.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.4.1

Multipliez $7$ par $3$ .

$z^{2} - 8 z + \frac{21 - 16}{3} = 0$

Étape 3.2.4.2

Soustrayez $16$ de $21$ .

$z^{2} - 8 z + \frac{5}{3} = 0$

Étape 4

Multipliez par le plus petit dénominateur commun $3$ , puis simplifiez.

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 z^{2} + 3 (- 8 z) + 3 (\frac{5}{3}) = 0$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Multipliez $- 8$ par $3$ .

$3 z^{2} - 24 z + 3 (\frac{5}{3}) = 0$

Étape 4.2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$3 z^{2} - 24 z + 3 (\frac{5}{3}) = 0$

Étape 4.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$3 z^{2} - 24 z + 5 = 0$

Étape 5

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 6

Remplacez les valeurs $a = 3$ , $b = - 24$ et $c = 5$ dans la formule quadratique et résolvez pour $z$ .

$\frac{24 \pm \sqrt{{(- 24)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 5)}}{2 \cdot 3}$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.1

Élevez $- 24$ à la puissance $2$ .

$z = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot 3 \cdot 5}}{2 \cdot 3}$

Étape 7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot 5$ .

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Étape 7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$z = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 12 \cdot 5}}{2 \cdot 3}$

Étape 7.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $5$ .

$z = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 60}}{2 \cdot 3}$

Étape 7.1.3

Soustrayez $60$ de $576$ .

$z = \frac{24 \pm \sqrt{516}}{2 \cdot 3}$

Étape 7.1.4

Réécrivez $516$ comme $2^{2} \cdot 129$ .

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Étape 7.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $516$ .

$z = \frac{24 \pm \sqrt{4 (129)}}{2 \cdot 3}$

Étape 7.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$z = \frac{24 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 129}}{2 \cdot 3}$

Étape 7.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$z = \frac{24 \pm 2 \sqrt{129}}{2 \cdot 3}$

Étape 7.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$z = \frac{24 \pm 2 \sqrt{129}}{6}$

Étape 7.3

Simplifiez $\frac{24 \pm 2 \sqrt{129}}{6}$ .

$z = \frac{12 \pm \sqrt{129}}{3}$

Étape 8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$z = \frac{12 + \sqrt{129}}{3}, \frac{12 - \sqrt{129}}{3}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$z = \frac{12 + \sqrt{129}}{3}, \frac{12 - \sqrt{129}}{3}$

Forme décimale :

$z = 7.78593889 \dots, 0.21406110 \dots$