Mathématiques de base Exemples

$12 z^{\frac{2}{5}} + 7 z^{\frac{1}{5}} = - 1$

Étape 1

Déterminez un facteur commun $z^{\frac{1}{5}}$ présent dans chaque terme.

$12 {(z^{\frac{1}{5}})}^{2} + 7 z^{\frac{1}{5}} + 1$

Étape 2

Remplacez $z^{\frac{1}{5}}$ par $u$ .

$12 {(u)}^{2} + 7 (u) + 1 = 0$

Étape 3

Résolvez $u$ .

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Étape 3.1

Multipliez $7$ par $u$ .

$12 u^{2} + 7 u + 1 = 0$

Étape 3.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 12 \cdot 1 = 12$ et dont la somme est $b = 7$ .

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Étape 3.2.1.1

Factorisez $7$ à partir de $7 u$ .

$12 u^{2} + 7 (u) + 1 = 0$

Étape 3.2.1.2

Réécrivez $7$ comme $3$ plus $4$

$12 u^{2} + (3 + 4) u + 1 = 0$

Étape 3.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$12 u^{2} + 3 u + 4 u + 1 = 0$

Étape 3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(12 u^{2} + 3 u) + 4 u + 1 = 0$

Étape 3.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$3 u (4 u + 1) + 1 (4 u + 1) = 0$

Étape 3.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $4 u + 1$ .

$(4 u + 1) (3 u + 1) = 0$

Étape 3.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$4 u + 1 = 0$

$3 u + 1 = 0$

Étape 3.4

Définissez $4 u + 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 3.4.1

Définissez $4 u + 1$ égal à $0$ .

$4 u + 1 = 0$

Étape 3.4.2

Résolvez $4 u + 1 = 0$ pour $u$ .

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Étape 3.4.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$4 u = - 1$

Étape 3.4.2.2

Divisez chaque terme dans $4 u = - 1$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 3.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $4 u = - 1$ par $4$ .

$\frac{4 u}{4} = \frac{- 1}{4}$

Étape 3.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 u}{4} = \frac{- 1}{4}$

Étape 3.4.2.2.2.1.2

Divisez $u$ par $1$ .

$u = \frac{- 1}{4}$

Étape 3.4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$u = - \frac{1}{4}$

Étape 3.5

Définissez $3 u + 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 3.5.1

Définissez $3 u + 1$ égal à $0$ .

$3 u + 1 = 0$

Étape 3.5.2

Résolvez $3 u + 1 = 0$ pour $u$ .

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Étape 3.5.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$3 u = - 1$

Étape 3.5.2.2

Divisez chaque terme dans $3 u = - 1$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 3.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 u = - 1$ par $3$ .

$\frac{3 u}{3} = \frac{- 1}{3}$

Étape 3.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 u}{3} = \frac{- 1}{3}$

Étape 3.5.2.2.2.1.2

Divisez $u$ par $1$ .

$u = \frac{- 1}{3}$

Étape 3.5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$u = - \frac{1}{3}$

Étape 3.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(4 u + 1) (3 u + 1) = 0$ vraie.

$u = - \frac{1}{4}, - \frac{1}{3}$

Étape 4

Remplacez $u$ par $z$ .

$z^{\frac{1}{5}} = - \frac{1}{4}, - \frac{1}{3}$

Étape 5

Résolvez $z^{\frac{1}{5}} = - \frac{1}{4}$ pour $z$ .

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Étape 5.1

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $5$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(z^{\frac{1}{5}})}^{5} = {(- \frac{1}{4})}^{5}$

Étape 5.2

Simplifiez l’exposant.

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Étape 5.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1.1

Simplifiez ${(z^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Étape 5.2.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(z^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Étape 5.2.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$z^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(- \frac{1}{4})}^{5}$

Étape 5.2.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.2.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$z^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(- \frac{1}{4})}^{5}$

Étape 5.2.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$z^{1} = {(- \frac{1}{4})}^{5}$

Étape 5.2.1.1.2

Simplifiez

$z = {(- \frac{1}{4})}^{5}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1

Simplifiez ${(- \frac{1}{4})}^{5}$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 5.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{4}$ .

$z = {(- 1)}^{5} {(\frac{1}{4})}^{5}$

Étape 5.2.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{4}$ .

$z = {(- 1)}^{5} \frac{1^{5}}{4^{5}}$

Étape 5.2.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $5$ .

$z = - \frac{1^{5}}{4^{5}}$

Étape 5.2.2.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$z = - \frac{1}{4^{5}}$

Étape 5.2.2.1.4

Élevez $4$ à la puissance $5$ .

$z = - \frac{1}{1024}$

Étape 6

Résolvez $z^{\frac{1}{5}} = - \frac{1}{3}$ pour $z$ .

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Étape 6.1

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $5$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(z^{\frac{1}{5}})}^{5} = {(- \frac{1}{3})}^{5}$

Étape 6.2

Simplifiez l’exposant.

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Étape 6.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

Simplifiez ${(z^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(z^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$z^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(- \frac{1}{3})}^{5}$

Étape 6.2.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 6.2.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$z^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(- \frac{1}{3})}^{5}$

Étape 6.2.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$z^{1} = {(- \frac{1}{3})}^{5}$

Étape 6.2.1.1.2

Simplifiez

$z = {(- \frac{1}{3})}^{5}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1

Simplifiez ${(- \frac{1}{3})}^{5}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{3}$ .

$z = {(- 1)}^{5} {(\frac{1}{3})}^{5}$

Étape 6.2.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{3}$ .

$z = {(- 1)}^{5} \frac{1^{5}}{3^{5}}$

Étape 6.2.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $5$ .

$z = - \frac{1^{5}}{3^{5}}$

Étape 6.2.2.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$z = - \frac{1}{3^{5}}$

Étape 6.2.2.1.4

Élevez $3$ à la puissance $5$ .

$z = - \frac{1}{243}$

Étape 7

Indiquez toutes les solutions.

$z = - \frac{1}{1024}, - \frac{1}{243}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$z = - \frac{1}{1024}, - \frac{1}{243}$

Forme décimale :

$z = - 0.00097656 \dots, - 0.00411522 \dots$