Mathématiques de base Exemples

$(\frac{4 k^{2} - 4 k - 15}{k^{2} + 7 k} \div \frac{2 k - 5}{k^{3} + 2 k^{2} - 35 k}) \cdot \frac{k^{2} - 13 k + 42}{2 k^{2} - 9 k - 18}$

Étape 1

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 4 \cdot - 15 = - 60$ et dont la somme est $b = - 4$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 k$ .

$\frac{4 k^{2} - 4 (k) - 15}{k^{2} + 7 k} \div \frac{2 k - 5}{k^{3} + 2 k^{2} - 35 k} \cdot \frac{k^{2} - 13 k + 42}{2 k^{2} - 9 k - 18}$

Étape 1.1.2

Réécrivez $- 4$ comme $6$ plus $- 10$

$\frac{4 k^{2} + (6 - 10) k - 15}{k^{2} + 7 k} \div \frac{2 k - 5}{k^{3} + 2 k^{2} - 35 k} \cdot \frac{k^{2} - 13 k + 42}{2 k^{2} - 9 k - 18}$

Étape 1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 k^{2} + 6 k - 10 k - 15}{k^{2} + 7 k} \div \frac{2 k - 5}{k^{3} + 2 k^{2} - 35 k} \cdot \frac{k^{2} - 13 k + 42}{2 k^{2} - 9 k - 18}$

Étape 1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(4 k^{2} + 6 k) - 10 k - 15}{k^{2} + 7 k} \div \frac{2 k - 5}{k^{3} + 2 k^{2} - 35 k} \cdot \frac{k^{2} - 13 k + 42}{2 k^{2} - 9 k - 18}$

Étape 1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{2 k (2 k + 3) - 5 (2 k + 3)}{k^{2} + 7 k} \div \frac{2 k - 5}{k^{3} + 2 k^{2} - 35 k} \cdot \frac{k^{2} - 13 k + 42}{2 k^{2} - 9 k - 18}$

Étape 1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 k + 3$ .

$\frac{(2 k + 3) (2 k - 5)}{k^{2} + 7 k} \div \frac{2 k - 5}{k^{3} + 2 k^{2} - 35 k} \cdot \frac{k^{2} - 13 k + 42}{2 k^{2} - 9 k - 18}$

Étape 2

Factorisez $k$ à partir de $k^{2} + 7 k$ .

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Étape 2.1

Factorisez $k$ à partir de $k^{2}$ .

$\frac{(2 k + 3) (2 k - 5)}{k \cdot k + 7 k} \div \frac{2 k - 5}{k^{3} + 2 k^{2} - 35 k} \cdot \frac{k^{2} - 13 k + 42}{2 k^{2} - 9 k - 18}$

Étape 2.2

Factorisez $k$ à partir de $7 k$ .

$\frac{(2 k + 3) (2 k - 5)}{k \cdot k + k \cdot 7} \div \frac{2 k - 5}{k^{3} + 2 k^{2} - 35 k} \cdot \frac{k^{2} - 13 k + 42}{2 k^{2} - 9 k - 18}$

Étape 2.3

Factorisez $k$ à partir de $k \cdot k + k \cdot 7$ .

$\frac{(2 k + 3) (2 k - 5)}{k (k + 7)} \div \frac{2 k - 5}{k^{3} + 2 k^{2} - 35 k} \cdot \frac{k^{2} - 13 k + 42}{2 k^{2} - 9 k - 18}$

Étape 3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1

Factorisez $k$ à partir de $k^{3} + 2 k^{2} - 35 k$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $k$ à partir de $k^{3}$ .

$\frac{(2 k + 3) (2 k - 5)}{k (k + 7)} \div \frac{2 k - 5}{k \cdot k^{2} + 2 k^{2} - 35 k} \cdot \frac{k^{2} - 13 k + 42}{2 k^{2} - 9 k - 18}$

Étape 3.1.2

Factorisez $k$ à partir de $2 k^{2}$ .

$\frac{(2 k + 3) (2 k - 5)}{k (k + 7)} \div \frac{2 k - 5}{k \cdot k^{2} + k (2 k) - 35 k} \cdot \frac{k^{2} - 13 k + 42}{2 k^{2} - 9 k - 18}$

Étape 3.1.3

Factorisez $k$ à partir de $- 35 k$ .

$\frac{(2 k + 3) (2 k - 5)}{k (k + 7)} \div \frac{2 k - 5}{k \cdot k^{2} + k (2 k) + k \cdot - 35} \cdot \frac{k^{2} - 13 k + 42}{2 k^{2} - 9 k - 18}$

Étape 3.1.4

Factorisez $k$ à partir de $k \cdot k^{2} + k (2 k)$ .

$\frac{(2 k + 3) (2 k - 5)}{k (k + 7)} \div \frac{2 k - 5}{k (k^{2} + 2 k) + k \cdot - 35} \cdot \frac{k^{2} - 13 k + 42}{2 k^{2} - 9 k - 18}$

Étape 3.1.5

Factorisez $k$ à partir de $k (k^{2} + 2 k) + k \cdot - 35$ .

$\frac{(2 k + 3) (2 k - 5)}{k (k + 7)} \div \frac{2 k - 5}{k (k^{2} + 2 k - 35)} \cdot \frac{k^{2} - 13 k + 42}{2 k^{2} - 9 k - 18}$

Étape 3.2

Factorisez $k^{2} + 2 k - 35$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 35$ et dont la somme est $2$ .

$- 5, 7$

Étape 3.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(2 k + 3) (2 k - 5)}{k (k + 7)} \div \frac{2 k - 5}{k ((k - 5) (k + 7))} \cdot \frac{k^{2} - 13 k + 42}{2 k^{2} - 9 k - 18}$

$\frac{(2 k + 3) (2 k - 5)}{k (k + 7)} \div \frac{2 k - 5}{k (k - 5) (k + 7)} \cdot \frac{k^{2} - 13 k + 42}{2 k^{2} - 9 k - 18}$

Étape 4

Factorisez $k^{2} - 13 k + 42$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $42$ et dont la somme est $- 13$ .

$- 7, - 6$

Étape 4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(2 k + 3) (2 k - 5)}{k (k + 7)} \div \frac{2 k - 5}{k (k - 5) (k + 7)} \cdot \frac{(k - 7) (k - 6)}{2 k^{2} - 9 k - 18}$

Étape 5

Factorisez par regroupement.

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Étape 5.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 18 = - 36$ et dont la somme est $b = - 9$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $- 9$ à partir de $- 9 k$ .

$\frac{(2 k + 3) (2 k - 5)}{k (k + 7)} \div \frac{2 k - 5}{k (k - 5) (k + 7)} \cdot \frac{(k - 7) (k - 6)}{2 k^{2} - 9 (k) - 18}$

Étape 5.1.2

Réécrivez $- 9$ comme $3$ plus $- 12$

$\frac{(2 k + 3) (2 k - 5)}{k (k + 7)} \div \frac{2 k - 5}{k (k - 5) (k + 7)} \cdot \frac{(k - 7) (k - 6)}{2 k^{2} + (3 - 12) k - 18}$

Étape 5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 k + 3) (2 k - 5)}{k (k + 7)} \div \frac{2 k - 5}{k (k - 5) (k + 7)} \cdot \frac{(k - 7) (k - 6)}{2 k^{2} + 3 k - 12 k - 18}$

Étape 5.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 5.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(2 k + 3) (2 k - 5)}{k (k + 7)} \div \frac{2 k - 5}{k (k - 5) (k + 7)} \cdot \frac{(k - 7) (k - 6)}{(2 k^{2} + 3 k) - 12 k - 18}$

Étape 5.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{(2 k + 3) (2 k - 5)}{k (k + 7)} \div \frac{2 k - 5}{k (k - 5) (k + 7)} \cdot \frac{(k - 7) (k - 6)}{k (2 k + 3) - 6 (2 k + 3)}$

Étape 5.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 k + 3$ .

$\frac{(2 k + 3) (2 k - 5)}{k (k + 7)} \div \frac{2 k - 5}{k (k - 5) (k + 7)} \cdot \frac{(k - 7) (k - 6)}{(2 k + 3) (k - 6)}$

Étape 6

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$\frac{(2 k + 3) (2 k - 5)}{k (k + 7)} \cdot \frac{k (k - 5) (k + 7)}{2 k - 5} \cdot \frac{(k - 7) (k - 6)}{(2 k + 3) (k - 6)}$

Étape 7

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun de $2 k - 5$ .

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Étape 7.1.1

Factorisez $2 k - 5$ à partir de $(2 k + 3) (2 k - 5)$ .

$\frac{(2 k - 5) (2 k + 3)}{k (k + 7)} \cdot \frac{k (k - 5) (k + 7)}{2 k - 5} \cdot \frac{(k - 7) (k - 6)}{(2 k + 3) (k - 6)}$

Étape 7.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(2 k - 5) (2 k + 3)}{k (k + 7)} \cdot \frac{k (k - 5) (k + 7)}{2 k - 5} \cdot \frac{(k - 7) (k - 6)}{(2 k + 3) (k - 6)}$

Étape 7.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 k + 3}{k (k + 7)} (k (k - 5) (k + 7)) \cdot \frac{(k - 7) (k - 6)}{(2 k + 3) (k - 6)}$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun de $k (k + 7)$ .

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Étape 7.2.1

Factorisez $k (k + 7)$ à partir de $k (k - 5) (k + 7)$ .

$\frac{2 k + 3}{k (k + 7)} (k (k + 7) (k - 5)) \cdot \frac{(k - 7) (k - 6)}{(2 k + 3) (k - 6)}$

Étape 7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 k + 3}{k (k + 7)} (k (k + 7) (k - 5)) \cdot \frac{(k - 7) (k - 6)}{(2 k + 3) (k - 6)}$

Étape 7.2.3

Réécrivez l’expression.

$(2 k + 3) (k - 5) \cdot \frac{(k - 7) (k - 6)}{(2 k + 3) (k - 6)}$

Étape 7.3

Annulez le facteur commun de $2 k + 3$ .

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Étape 7.3.1

Annulez le facteur commun.

$(2 k + 3) (k - 5) \cdot \frac{(k - 7) (k - 6)}{(2 k + 3) (k - 6)}$

Étape 7.3.2

Réécrivez l’expression.

$(k - 5) \cdot \frac{(k - 7) (k - 6)}{k - 6}$

Étape 7.4

Annulez le facteur commun de $k - 6$ .

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Étape 7.4.1

Annulez le facteur commun.

$(k - 5) \cdot \frac{(k - 7) (k - 6)}{k - 6}$

Étape 7.4.2

Divisez $k - 7$ par $1$ .

$(k - 5) \cdot (k - 7)$

Étape 8

Développez $(k - 5) (k - 7)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 8.1

Appliquez la propriété distributive.

$k (k - 7) - 5 (k - 7)$

Étape 8.2

Appliquez la propriété distributive.

$k \cdot k + k \cdot - 7 - 5 (k - 7)$

Étape 8.3

Appliquez la propriété distributive.

$k \cdot k + k \cdot - 7 - 5 k - 5 \cdot - 7$

Étape 9

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

Multipliez $k$ par $k$ .

$k^{2} + k \cdot - 7 - 5 k - 5 \cdot - 7$

Étape 9.1.2

Déplacez $- 7$ à gauche de $k$ .

$k^{2} - 7 \cdot k - 5 k - 5 \cdot - 7$

Étape 9.1.3

Multipliez $- 5$ par $- 7$ .

$k^{2} - 7 k - 5 k + 35$

Étape 9.2

Soustrayez $5 k$ de $- 7 k$ .

$k^{2} - 12 k + 35$