Mathématiques de base Exemples

$(\frac{2 m n}{{(m - n)}^{2}}) (\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) (\frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n})$

Étape 1

Multipliez $\frac{2 m n}{{(m - n)}^{2}}$ par $\frac{m}{n} - \frac{n}{m}$ .

$\frac{2 m n (\frac{m}{n} - \frac{n}{m})}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Étape 2

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Pour écrire $\frac{m}{n}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{m}{m}$ .

$\frac{2 m n (\frac{m}{n} \cdot \frac{m}{m} - \frac{n}{m})}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Étape 2.2

Pour écrire $- \frac{n}{m}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{n}{n}$ .

$\frac{2 m n (\frac{m}{n} \cdot \frac{m}{m} - \frac{n}{m} \cdot \frac{n}{n})}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Étape 2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $n m$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Multipliez $\frac{m}{n}$ par $\frac{m}{m}$ .

$\frac{2 m n (\frac{m \cdot m}{n m} - \frac{n}{m} \cdot \frac{n}{n})}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Étape 2.3.2

Multipliez $\frac{n}{m}$ par $\frac{n}{n}$ .

$\frac{2 m n (\frac{m \cdot m}{n m} - \frac{n \cdot n}{m n})}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Étape 2.3.3

Réorganisez les facteurs de $n m$ .

$\frac{2 m n (\frac{m \cdot m}{m n} - \frac{n \cdot n}{m n})}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 m n \frac{m \cdot m - n \cdot n}{m n}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Étape 2.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

Élevez $m$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 m n \frac{m^{1} m - n \cdot n}{m n}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Étape 2.5.2

Élevez $m$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 m n \frac{m^{1} m^{1} - n \cdot n}{m n}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Étape 2.5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 m n \frac{m^{1 + 1} - n \cdot n}{m n}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Étape 2.5.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 m n \frac{m^{2} - n \cdot n}{m n}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Étape 2.5.5

Réécrivez $n \cdot n$ comme $n^{2}$ .

$\frac{2 m n \frac{m^{2} - n^{2}}{m n}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Étape 2.5.6

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = m$ et $b = n$ .

$\frac{2 m n \frac{(m + n) (m - n)}{m n}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Étape 2.6

Associez les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1

Associez $2$ et $\frac{(m + n) (m - n)}{m n}$ .

$\frac{m n \frac{2 ((m + n) (m - n))}{m n}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Étape 2.6.2

Associez $m$ et $\frac{2 ((m + n) (m - n))}{m n}$ .

$\frac{n \frac{m (2 ((m + n) (m - n)))}{m n}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Étape 2.6.3

Associez $n$ et $\frac{m (2 ((m + n) (m - n)))}{m n}$ .

$\frac{\frac{n (m (2 ((m + n) (m - n))))}{m n}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Étape 2.7

Supprimez les parenthèses inutiles.

$\frac{\frac{n m \cdot 2 (m + n) (m - n)}{m n}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Étape 2.8

Réduisez l’expression $\frac{n m \cdot 2 (m + n) (m - n)}{m n}$ en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{n m \cdot 2 (m + n) (m - n)}{m n}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Étape 2.8.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{(m \cdot 2 (m + n)) (m - n)}{m}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Étape 2.9

Annulez le facteur commun de $m$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.9.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{m \cdot 2 (m + n) (m - n)}{m}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Étape 2.9.2

Divisez $(2 (m + n)) (m - n)$ par $1$ .

$\frac{(2 (m + n)) (m - n)}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Étape 2.10

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 m + 2 n) (m - n)}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Étape 2.11

Développez $(2 m + 2 n) (m - n)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 m (m - n) + 2 n (m - n)}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Étape 2.11.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 m \cdot m + 2 m (- n) + 2 n (m - n)}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Étape 2.11.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 m \cdot m + 2 m (- n) + 2 n m + 2 n (- n)}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Étape 2.12

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.12.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.12.1.1

Multipliez $m$ par $m$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.12.1.1.1

Déplacez $m$ .

$\frac{2 (m \cdot m) + 2 m (- n) + 2 n m + 2 n (- n)}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Étape 2.12.1.1.2

Multipliez $m$ par $m$ .

$\frac{2 m^{2} + 2 m (- n) + 2 n m + 2 n (- n)}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Étape 2.12.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 m^{2} + 2 \cdot - 1 m n + 2 n m + 2 n (- n)}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Étape 2.12.1.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2 m^{2} - 2 m n + 2 n m + 2 n (- n)}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Étape 2.12.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 m^{2} - 2 m n + 2 n m + 2 \cdot - 1 n \cdot n}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Étape 2.12.1.5

Multipliez $n$ par $n$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.12.1.5.1

Déplacez $n$ .

$\frac{2 m^{2} - 2 m n + 2 n m + 2 \cdot - 1 (n \cdot n)}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Étape 2.12.1.5.2

Multipliez $n$ par $n$ .

$\frac{2 m^{2} - 2 m n + 2 n m + 2 \cdot - 1 n^{2}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Étape 2.12.1.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2 m^{2} - 2 m n + 2 n m - 2 n^{2}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Étape 2.12.2

Additionnez $- 2 m n$ et $2 n m$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.12.2.1

Déplacez $n$ .

$\frac{2 m^{2} - 2 m n + 2 m n - 2 n^{2}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Étape 2.12.2.2

Additionnez $- 2 m n$ et $2 m n$ .

$\frac{2 m^{2} + 0 - 2 n^{2}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Étape 2.12.3

Additionnez $2 m^{2}$ et $0$ .

$\frac{2 m^{2} - 2 n^{2}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Étape 2.13

Factorisez $2$ à partir de $2 m^{2} - 2 n^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.13.1

Factorisez $2$ à partir de $2 m^{2}$ .

$\frac{2 (m^{2}) - 2 n^{2}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Étape 2.13.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 n^{2}$ .

$\frac{2 (m^{2}) + 2 (- n^{2})}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Étape 2.13.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (m^{2}) + 2 (- n^{2})$ .

$\frac{2 (m^{2} - n^{2})}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Étape 2.14

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = m$ et $b = n$ .

$\frac{2 (m + n) (m - n)}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Étape 3

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $m + n$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Factorisez $m + n$ à partir de $2 (m + n) (m - n)$ .

$\frac{(m + n) (2 (m - n))}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Étape 3.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(m + n) (2 (m - n))}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Étape 3.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 (m - n)}{{(m - n)}^{2}} (m^{2} + m n + n^{2})$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun à $m - n$ et ${(m - n)}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Factorisez $m - n$ à partir de $2 (m - n)$ .

$\frac{(m - n) \cdot 2}{{(m - n)}^{2}} (m^{2} + m n + n^{2})$

Étape 3.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1

Factorisez $m - n$ à partir de ${(m - n)}^{2}$ .

$\frac{(m - n) \cdot 2}{(m - n) (m - n)} (m^{2} + m n + n^{2})$

Étape 3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(m - n) \cdot 2}{(m - n) (m - n)} (m^{2} + m n + n^{2})$

Étape 3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{m - n} (m^{2} + m n + n^{2})$

Étape 3.3

Multipliez $\frac{2}{m - n}$ par $m^{2} + m n + n^{2}$ .

$\frac{2 (m^{2} + m n + n^{2})}{m - n}$