Mathématiques de base Exemples

$(\frac{20 k^{2} - 7 k - 3}{k^{2} + 6 k} \div \frac{5 k - 3}{k^{3} - 7 k - 2}) \cdot \frac{k^{2} - 5 k + 6}{4 k^{2} - 7 k - 2}$

Étape 1

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 20 \cdot - 3 = - 60$ et dont la somme est $b = - 7$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $- 7$ à partir de $- 7 k$ .

$\frac{20 k^{2} - 7 (k) - 3}{k^{2} + 6 k} \div \frac{5 k - 3}{k^{3} - 7 k - 2} \cdot \frac{k^{2} - 5 k + 6}{4 k^{2} - 7 k - 2}$

Étape 1.1.2

Réécrivez $- 7$ comme $5$ plus $- 12$

$\frac{20 k^{2} + (5 - 12) k - 3}{k^{2} + 6 k} \div \frac{5 k - 3}{k^{3} - 7 k - 2} \cdot \frac{k^{2} - 5 k + 6}{4 k^{2} - 7 k - 2}$

Étape 1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{20 k^{2} + 5 k - 12 k - 3}{k^{2} + 6 k} \div \frac{5 k - 3}{k^{3} - 7 k - 2} \cdot \frac{k^{2} - 5 k + 6}{4 k^{2} - 7 k - 2}$

Étape 1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(20 k^{2} + 5 k) - 12 k - 3}{k^{2} + 6 k} \div \frac{5 k - 3}{k^{3} - 7 k - 2} \cdot \frac{k^{2} - 5 k + 6}{4 k^{2} - 7 k - 2}$

Étape 1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{5 k (4 k + 1) - 3 (4 k + 1)}{k^{2} + 6 k} \div \frac{5 k - 3}{k^{3} - 7 k - 2} \cdot \frac{k^{2} - 5 k + 6}{4 k^{2} - 7 k - 2}$

Étape 1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $4 k + 1$ .

$\frac{(4 k + 1) (5 k - 3)}{k^{2} + 6 k} \div \frac{5 k - 3}{k^{3} - 7 k - 2} \cdot \frac{k^{2} - 5 k + 6}{4 k^{2} - 7 k - 2}$

Étape 2

Factorisez $k$ à partir de $k^{2} + 6 k$ .

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Étape 2.1

Factorisez $k$ à partir de $k^{2}$ .

$\frac{(4 k + 1) (5 k - 3)}{k \cdot k + 6 k} \div \frac{5 k - 3}{k^{3} - 7 k - 2} \cdot \frac{k^{2} - 5 k + 6}{4 k^{2} - 7 k - 2}$

Étape 2.2

Factorisez $k$ à partir de $6 k$ .

$\frac{(4 k + 1) (5 k - 3)}{k \cdot k + k \cdot 6} \div \frac{5 k - 3}{k^{3} - 7 k - 2} \cdot \frac{k^{2} - 5 k + 6}{4 k^{2} - 7 k - 2}$

Étape 2.3

Factorisez $k$ à partir de $k \cdot k + k \cdot 6$ .

$\frac{(4 k + 1) (5 k - 3)}{k (k + 6)} \div \frac{5 k - 3}{k^{3} - 7 k - 2} \cdot \frac{k^{2} - 5 k + 6}{4 k^{2} - 7 k - 2}$

Étape 3

Factorisez $k^{2} - 5 k + 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $6$ et dont la somme est $- 5$ .

$- 3, - 2$

Étape 3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(4 k + 1) (5 k - 3)}{k (k + 6)} \div \frac{5 k - 3}{k^{3} - 7 k - 2} \cdot \frac{(k - 3) (k - 2)}{4 k^{2} - 7 k - 2}$

Étape 4

Factorisez par regroupement.

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Étape 4.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 4 \cdot - 2 = - 8$ et dont la somme est $b = - 7$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $- 7$ à partir de $- 7 k$ .

$\frac{(4 k + 1) (5 k - 3)}{k (k + 6)} \div \frac{5 k - 3}{k^{3} - 7 k - 2} \cdot \frac{(k - 3) (k - 2)}{4 k^{2} - 7 (k) - 2}$

Étape 4.1.2

Réécrivez $- 7$ comme $1$ plus $- 8$

$\frac{(4 k + 1) (5 k - 3)}{k (k + 6)} \div \frac{5 k - 3}{k^{3} - 7 k - 2} \cdot \frac{(k - 3) (k - 2)}{4 k^{2} + (1 - 8) k - 2}$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(4 k + 1) (5 k - 3)}{k (k + 6)} \div \frac{5 k - 3}{k^{3} - 7 k - 2} \cdot \frac{(k - 3) (k - 2)}{4 k^{2} + 1 k - 8 k - 2}$

Étape 4.1.4

Multipliez $k$ par $1$ .

$\frac{(4 k + 1) (5 k - 3)}{k (k + 6)} \div \frac{5 k - 3}{k^{3} - 7 k - 2} \cdot \frac{(k - 3) (k - 2)}{4 k^{2} + k - 8 k - 2}$

Étape 4.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 4.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(4 k + 1) (5 k - 3)}{k (k + 6)} \div \frac{5 k - 3}{k^{3} - 7 k - 2} \cdot \frac{(k - 3) (k - 2)}{(4 k^{2} + k) - 8 k - 2}$

Étape 4.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{(4 k + 1) (5 k - 3)}{k (k + 6)} \div \frac{5 k - 3}{k^{3} - 7 k - 2} \cdot \frac{(k - 3) (k - 2)}{k (4 k + 1) - 2 (4 k + 1)}$

Étape 4.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $4 k + 1$ .

$\frac{(4 k + 1) (5 k - 3)}{k (k + 6)} \div \frac{5 k - 3}{k^{3} - 7 k - 2} \cdot \frac{(k - 3) (k - 2)}{(4 k + 1) (k - 2)}$

Étape 5

Associez.

$\frac{\frac{(4 k + 1) (5 k - 3)}{k (k + 6)} ((k - 3) (k - 2))}{\frac{5 k - 3}{k^{3} - 7 k - 2} ((4 k + 1) (k - 2))}$

Étape 6

Annulez le facteur commun de $k - 2$ .

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{(4 k + 1) (5 k - 3)}{k (k + 6)} ((k - 3) (k - 2))}{\frac{5 k - 3}{k^{3} - 7 k - 2} ((4 k + 1) (k - 2))}$

Étape 6.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{(4 k + 1) (5 k - 3)}{k (k + 6)} (k - 3)}{\frac{5 k - 3}{k^{3} - 7 k - 2} (4 k + 1)}$

Étape 7

Factorisez $\frac{(4 k + 1) (5 k - 3)}{k (k + 6)}$ à partir de $\frac{\frac{(4 k + 1) (5 k - 3)}{k (k + 6)} (k - 3)}{\frac{5 k - 3}{k^{3} - 7 k - 2} (4 k + 1)}$ .

$\frac{(4 k + 1) (5 k - 3)}{k (k + 6)} \cdot \frac{k - 3}{\frac{5 k - 3}{k^{3} - 7 k - 2} (4 k + 1)}$

Étape 8

Annulez le facteur commun de $4 k + 1$ .

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Étape 8.1

Factorisez $4 k + 1$ à partir de $\frac{5 k - 3}{k^{3} - 7 k - 2} (4 k + 1)$ .

$\frac{(4 k + 1) (5 k - 3)}{k (k + 6)} \cdot \frac{k - 3}{(4 k + 1) \frac{5 k - 3}{k^{3} - 7 k - 2}}$

Étape 8.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(4 k + 1) (5 k - 3)}{k (k + 6)} \cdot \frac{k - 3}{(4 k + 1) \frac{5 k - 3}{k^{3} - 7 k - 2}}$

Étape 8.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5 k - 3}{k (k + 6)} \cdot \frac{k - 3}{\frac{5 k - 3}{k^{3} - 7 k - 2}}$

Étape 9

Multipliez $\frac{5 k - 3}{k (k + 6)}$ par $\frac{k - 3}{\frac{5 k - 3}{k^{3} - 7 k - 2}}$ .

$\frac{(5 k - 3) (k - 3)}{k (k + 6) \frac{5 k - 3}{k^{3} - 7 k - 2}}$

Étape 10

Associez $\frac{5 k - 3}{k^{3} - 7 k - 2}$ et $k$ .

$\frac{(5 k - 3) (k - 3)}{\frac{(5 k - 3) k}{k^{3} - 7 k - 2} (k + 6)}$

Étape 11

Factorisez $\frac{(5 k - 3) k}{k^{3} - 7 k - 2}$ à partir de $\frac{(5 k - 3) (k - 3)}{\frac{(5 k - 3) k}{k^{3} - 7 k - 2} (k + 6)}$ .

$\frac{k^{3} - 7 k - 2}{(5 k - 3) k} \cdot \frac{(5 k - 3) (k - 3)}{k + 6}$

Étape 12

Annulez le facteur commun de $5 k - 3$ .

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Étape 12.1

Factorisez $5 k - 3$ à partir de $(5 k - 3) k$ .

$\frac{k^{3} - 7 k - 2}{(5 k - 3) (k)} \cdot \frac{(5 k - 3) (k - 3)}{k + 6}$

Étape 12.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{k^{3} - 7 k - 2}{(5 k - 3) k} \cdot \frac{(5 k - 3) (k - 3)}{k + 6}$

Étape 12.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{k^{3} - 7 k - 2}{k} \cdot \frac{k - 3}{k + 6}$

Étape 13

Multipliez $\frac{k^{3} - 7 k - 2}{k}$ par $\frac{k - 3}{k + 6}$ .

$\frac{(k^{3} - 7 k - 2) (k - 3)}{k (k + 6)}$