Mathématiques de base Exemples

$\frac{2 + 7 i}{3 - 2 i}$

Étape 1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{2 + 7 i}{3 - 2 i}$ par le conjugué de $3 - 2 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$\frac{2 + 7 i}{3 - 2 i} \cdot \frac{3 + 2 i}{3 + 2 i}$

Étape 2

Multipliez.

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Étape 2.1

Associez.

$\frac{(2 + 7 i) (3 + 2 i)}{(3 - 2 i) (3 + 2 i)}$

Étape 2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.1

Développez $(2 + 7 i) (3 + 2 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (3 + 2 i) + 7 i (3 + 2 i)}{(3 - 2 i) (3 + 2 i)}$

Étape 2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \cdot 3 + 2 (2 i) + 7 i (3 + 2 i)}{(3 - 2 i) (3 + 2 i)}$

Étape 2.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \cdot 3 + 2 (2 i) + 7 i \cdot 3 + 7 i (2 i)}{(3 - 2 i) (3 + 2 i)}$

Étape 2.2.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{6 + 2 (2 i) + 7 i \cdot 3 + 7 i (2 i)}{(3 - 2 i) (3 + 2 i)}$

Étape 2.2.2.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{6 + 4 i + 7 i \cdot 3 + 7 i (2 i)}{(3 - 2 i) (3 + 2 i)}$

Étape 2.2.2.1.3

Multipliez $3$ par $7$ .

$\frac{6 + 4 i + 21 i + 7 i (2 i)}{(3 - 2 i) (3 + 2 i)}$

Étape 2.2.2.1.4

Multipliez $7 i (2 i)$ .

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Étape 2.2.2.1.4.1

Multipliez $2$ par $7$ .

$\frac{6 + 4 i + 21 i + 14 i i}{(3 - 2 i) (3 + 2 i)}$

Étape 2.2.2.1.4.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{6 + 4 i + 21 i + 14 (i^{1} i)}{(3 - 2 i) (3 + 2 i)}$

Étape 2.2.2.1.4.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{6 + 4 i + 21 i + 14 (i^{1} i^{1})}{(3 - 2 i) (3 + 2 i)}$

Étape 2.2.2.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{6 + 4 i + 21 i + 14 i^{1 + 1}}{(3 - 2 i) (3 + 2 i)}$

Étape 2.2.2.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{6 + 4 i + 21 i + 14 i^{2}}{(3 - 2 i) (3 + 2 i)}$

Étape 2.2.2.1.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{6 + 4 i + 21 i + 14 \cdot - 1}{(3 - 2 i) (3 + 2 i)}$

Étape 2.2.2.1.6

Multipliez $14$ par $- 1$ .

$\frac{6 + 4 i + 21 i - 14}{(3 - 2 i) (3 + 2 i)}$

Étape 2.2.2.2

Soustrayez $14$ de $6$ .

$\frac{- 8 + 4 i + 21 i}{(3 - 2 i) (3 + 2 i)}$

Étape 2.2.2.3

Additionnez $4 i$ et $21 i$ .

$\frac{- 8 + 25 i}{(3 - 2 i) (3 + 2 i)}$

Étape 2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.3.1

Développez $(3 - 2 i) (3 + 2 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 8 + 25 i}{3 (3 + 2 i) - 2 i (3 + 2 i)}$

Étape 2.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 8 + 25 i}{3 \cdot 3 + 3 (2 i) - 2 i (3 + 2 i)}$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 8 + 25 i}{3 \cdot 3 + 3 (2 i) - 2 i \cdot 3 - 2 i (2 i)}$

Étape 2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.2.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{- 8 + 25 i}{9 + 3 (2 i) - 2 i \cdot 3 - 2 i (2 i)}$

Étape 2.3.2.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{- 8 + 25 i}{9 + 6 i - 2 i \cdot 3 - 2 i (2 i)}$

Étape 2.3.2.3

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$\frac{- 8 + 25 i}{9 + 6 i - 6 i - 2 i (2 i)}$

Étape 2.3.2.4

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\frac{- 8 + 25 i}{9 + 6 i - 6 i - 4 i i}$

Étape 2.3.2.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 8 + 25 i}{9 + 6 i - 6 i - 4 (i^{1} i)}$

Étape 2.3.2.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 8 + 25 i}{9 + 6 i - 6 i - 4 (i^{1} i^{1})}$

Étape 2.3.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 8 + 25 i}{9 + 6 i - 6 i - 4 i^{1 + 1}}$

Étape 2.3.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- 8 + 25 i}{9 + 6 i - 6 i - 4 i^{2}}$

Étape 2.3.2.9

Soustrayez $6 i$ de $6 i$ .

$\frac{- 8 + 25 i}{9 + 0 - 4 i^{2}}$

Étape 2.3.2.10

Additionnez $9$ et $0$ .

$\frac{- 8 + 25 i}{9 - 4 i^{2}}$

Étape 2.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{- 8 + 25 i}{9 - 4 \cdot - 1}$

Étape 2.3.3.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$\frac{- 8 + 25 i}{9 + 4}$

Étape 2.3.4

Additionnez $9$ et $4$ .

$\frac{- 8 + 25 i}{13}$

Étape 3

Divisez la fraction $\frac{- 8 + 25 i}{13}$ en deux fractions.

$\frac{- 8}{13} + \frac{25 i}{13}$

Étape 4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{8}{13} + \frac{25 i}{13}$