Mathématiques de base Exemples

$(\frac{1 + 3 a^{- 1}}{2 - a^{- 1}}) (\frac{a^{- 2} - 2 a^{- 1}}{3 a^{- 3} + a^{- 2}})$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1 + 3 \frac{1}{a}}{2 - a^{- 1}} \cdot \frac{a^{- 2} - 2 a^{- 1}}{3 a^{- 3} + a^{- 2}}$

Étape 1.2

Associez $3$ et $\frac{1}{a}$ .

$\frac{1 + \frac{3}{a}}{2 - a^{- 1}} \cdot \frac{a^{- 2} - 2 a^{- 1}}{3 a^{- 3} + a^{- 2}}$

Étape 1.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{\frac{a}{a} + \frac{3}{a}}{2 - a^{- 1}} \cdot \frac{a^{- 2} - 2 a^{- 1}}{3 a^{- 3} + a^{- 2}}$

Étape 1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{a + 3}{a}}{2 - a^{- 1}} \cdot \frac{a^{- 2} - 2 a^{- 1}}{3 a^{- 3} + a^{- 2}}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{a + 3}{a}}{2 - \frac{1}{a}} \cdot \frac{a^{- 2} - 2 a^{- 1}}{3 a^{- 3} + a^{- 2}}$

Étape 2.2

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{a}{a}$ .

$\frac{\frac{a + 3}{a}}{\frac{2 a}{a} - \frac{1}{a}} \cdot \frac{a^{- 2} - 2 a^{- 1}}{3 a^{- 3} + a^{- 2}}$

Étape 2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{a + 3}{a}}{\frac{2 a - 1}{a}} \cdot \frac{a^{- 2} - 2 a^{- 1}}{3 a^{- 3} + a^{- 2}}$

Étape 3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1

Factorisez $a^{- 2}$ à partir de $a^{- 2} - 2 a^{- 1}$ .

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Étape 3.1.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{\frac{a + 3}{a}}{\frac{2 a - 1}{a}} \cdot \frac{a^{- 2} \cdot 1 - 2 a^{- 1}}{3 a^{- 3} + a^{- 2}}$

Étape 3.1.2

Factorisez $a^{- 2}$ à partir de $- 2 a^{- 1}$ .

$\frac{\frac{a + 3}{a}}{\frac{2 a - 1}{a}} \cdot \frac{a^{- 2} \cdot 1 + a^{- 2} (- 2 a)}{3 a^{- 3} + a^{- 2}}$

Étape 3.1.3

Factorisez $a^{- 2}$ à partir de $a^{- 2} \cdot 1 + a^{- 2} (- 2 a)$ .

$\frac{\frac{a + 3}{a}}{\frac{2 a - 1}{a}} \cdot \frac{a^{- 2} (1 - 2 a)}{3 a^{- 3} + a^{- 2}}$

Étape 3.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{a + 3}{a}}{\frac{2 a - 1}{a}} \cdot \frac{\frac{1}{a^{2}} (1 - 2 a)}{3 a^{- 3} + a^{- 2}}$

Étape 4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1

Factorisez $a^{- 3}$ à partir de $3 a^{- 3} + a^{- 2}$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $a^{- 3}$ à partir de $3 a^{- 3}$ .

$\frac{\frac{a + 3}{a}}{\frac{2 a - 1}{a}} \cdot \frac{\frac{1}{a^{2}} (1 - 2 a)}{a^{- 3} \cdot 3 + a^{- 2}}$

Étape 4.1.2

Factorisez $a^{- 3}$ à partir de $a^{- 2}$ .

$\frac{\frac{a + 3}{a}}{\frac{2 a - 1}{a}} \cdot \frac{\frac{1}{a^{2}} (1 - 2 a)}{a^{- 3} \cdot 3 + a^{- 3} a}$

Étape 4.1.3

Factorisez $a^{- 3}$ à partir de $a^{- 3} \cdot 3 + a^{- 3} a$ .

$\frac{\frac{a + 3}{a}}{\frac{2 a - 1}{a}} \cdot \frac{\frac{1}{a^{2}} (1 - 2 a)}{a^{- 3} (3 + a)}$

Étape 4.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{a + 3}{a}}{\frac{2 a - 1}{a}} \cdot \frac{\frac{1}{a^{2}} (1 - 2 a)}{\frac{1}{a^{3}} (3 + a)}$

Étape 5

Associez les fractions.

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Étape 5.1

Associez.

$\frac{\frac{a + 3}{a} (\frac{1}{a^{2}} (1 - 2 a))}{\frac{2 a - 1}{a} (\frac{1}{a^{3}} (3 + a))}$

Étape 5.2

Multipliez $\frac{1}{a^{2}}$ par $\frac{a + 3}{a}$ .

$\frac{\frac{a + 3}{a^{2} a} (1 - 2 a)}{\frac{2 a - 1}{a} (\frac{1}{a^{3}} (3 + a))}$

Étape 5.3

Multipliez $\frac{1}{a^{3}}$ par $\frac{2 a - 1}{a}$ .

$\frac{\frac{a + 3}{a^{2} a} (1 - 2 a)}{\frac{2 a - 1}{a^{3} a} (3 + a)}$

Étape 6

Multipliez $a^{2}$ par $a$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.1

Multipliez $a^{2}$ par $a$ .

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Étape 6.1.1

Élevez $a$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{a + 3}{a^{2} a^{1}} (1 - 2 a)}{\frac{2 a - 1}{a^{3} a} (3 + a)}$

Étape 6.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{a + 3}{a^{2 + 1}} (1 - 2 a)}{\frac{2 a - 1}{a^{3} a} (3 + a)}$

Étape 6.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{\frac{a + 3}{a^{3}} (1 - 2 a)}{\frac{2 a - 1}{a^{3} a} (3 + a)}$

Étape 7

Multipliez $a^{3}$ par $a$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.1

Multipliez $a^{3}$ par $a$ .

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Étape 7.1.1

Élevez $a$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{a + 3}{a^{3}} (1 - 2 a)}{\frac{2 a - 1}{a^{3} a^{1}} (3 + a)}$

Étape 7.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{a + 3}{a^{3}} (1 - 2 a)}{\frac{2 a - 1}{a^{3 + 1}} (3 + a)}$

Étape 7.2

Additionnez $3$ et $1$ .

$\frac{\frac{a + 3}{a^{3}} (1 - 2 a)}{\frac{2 a - 1}{a^{4}} (3 + a)}$

Étape 8

Factorisez $\frac{a + 3}{a^{3}}$ à partir de $\frac{\frac{a + 3}{a^{3}} (1 - 2 a)}{\frac{2 a - 1}{a^{4}} (3 + a)}$ .

$\frac{a + 3}{a^{3}} \cdot \frac{1 - 2 a}{\frac{2 a - 1}{a^{4}} (3 + a)}$

Étape 9

Factorisez $\frac{2 a - 1}{a^{4}}$ à partir de $\frac{1 - 2 a}{\frac{2 a - 1}{a^{4}} (3 + a)}$ .

$\frac{a + 3}{a^{3}} (\frac{a^{4}}{2 a - 1} \cdot \frac{1 - 2 a}{3 + a})$

Étape 10

Multipliez $\frac{a^{4}}{2 a - 1}$ par $\frac{1 - 2 a}{3 + a}$ .

$\frac{a + 3}{a^{3}} \cdot \frac{a^{4} (1 - 2 a)}{(2 a - 1) (3 + a)}$

Étape 11

Annulez le facteur commun de $a^{3}$ .

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Étape 11.1

Factorisez $a^{3}$ à partir de $a^{4} (1 - 2 a)$ .

$\frac{a + 3}{a^{3}} \cdot \frac{a^{3} (a (1 - 2 a))}{(2 a - 1) (3 + a)}$

Étape 11.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{a + 3}{a^{3}} \cdot \frac{a^{3} (a (1 - 2 a))}{(2 a - 1) (3 + a)}$

Étape 11.3

Réécrivez l’expression.

$(a + 3) \frac{a (1 - 2 a)}{(2 a - 1) (3 + a)}$

Étape 12

Annulez le facteur commun à $1 - 2 a$ et $2 a - 1$ .

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Étape 12.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$(a + 3) \frac{a (- 1 (- 1) - 2 a)}{(2 a - 1) (3 + a)}$

Étape 12.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 a$ .

$(a + 3) \frac{a (- 1 (- 1) - (2 a))}{(2 a - 1) (3 + a)}$

Étape 12.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- 1) - (2 a)$ .

$(a + 3) \frac{a (- 1 (- 1 + 2 a))}{(2 a - 1) (3 + a)}$

Étape 12.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$(a + 3) \frac{a (- 1 (2 a - 1))}{(2 a - 1) (3 + a)}$

Étape 12.5

Annulez le facteur commun.

$(a + 3) \frac{a (- 1 (2 a - 1))}{(2 a - 1) (3 + a)}$

Étape 12.6

Réécrivez l’expression.

$(a + 3) \frac{a \cdot (- 1)}{3 + a}$

Étape 13

Simplifiez l’expression.

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Étape 13.1

Déplacez $- 1$ à gauche de $a$ .

$(a + 3) \frac{- 1 \cdot a}{3 + a}$

Étape 13.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$(a + 3) (- \frac{a}{3 + a})$

Étape 14

Appliquez la propriété distributive.

$a (- \frac{a}{3 + a}) + 3 (- \frac{a}{3 + a})$

Étape 15

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- a \frac{a}{3 + a} + 3 (- \frac{a}{3 + a})$

Étape 16

Multipliez $3 (- \frac{a}{3 + a})$ .

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Étape 16.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- a \frac{a}{3 + a} - 3 \frac{a}{3 + a}$

Étape 16.2

Associez $- 3$ et $\frac{a}{3 + a}$ .

$- a \frac{a}{3 + a} + \frac{- 3 a}{3 + a}$

Étape 17

Simplifiez chaque terme.

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Étape 17.1

Multipliez $- a \frac{a}{3 + a}$ .

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Étape 17.1.1

Associez $\frac{a}{3 + a}$ et $a$ .

$- \frac{a \cdot a}{3 + a} + \frac{- 3 a}{3 + a}$

Étape 17.1.2

Élevez $a$ à la puissance $1$ .

$- \frac{a^{1} a}{3 + a} + \frac{- 3 a}{3 + a}$

Étape 17.1.3

Élevez $a$ à la puissance $1$ .

$- \frac{a^{1} a^{1}}{3 + a} + \frac{- 3 a}{3 + a}$

Étape 17.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{a^{1 + 1}}{3 + a} + \frac{- 3 a}{3 + a}$

Étape 17.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{a^{2}}{3 + a} + \frac{- 3 a}{3 + a}$

Étape 17.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{a^{2}}{3 + a} - \frac{3 a}{3 + a}$

Étape 18

Simplifiez les termes.

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Étape 18.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- a^{2} - 3 a}{3 + a}$

Étape 18.2

Factorisez $a$ à partir de $- a^{2} - 3 a$ .

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Étape 18.2.1

Factorisez $a$ à partir de $- a^{2}$ .

$\frac{a (- a) - 3 a}{3 + a}$

Étape 18.2.2

Factorisez $a$ à partir de $- 3 a$ .

$\frac{a (- a) + a \cdot - 3}{3 + a}$

Étape 18.2.3

Factorisez $a$ à partir de $a (- a) + a \cdot - 3$ .

$\frac{a (- a - 3)}{3 + a}$

Étape 18.3

Annulez le facteur commun à $- a - 3$ et $3 + a$ .

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Étape 18.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- a$ .

$\frac{a (- (a) - 3)}{3 + a}$

Étape 18.3.2

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$\frac{a (- (a) - 1 (3))}{3 + a}$

Étape 18.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (a) - 1 (3)$ .

$\frac{a (- (a + 3))}{3 + a}$

Étape 18.3.4

Réécrivez $- (a + 3)$ comme $- 1 (a + 3)$ .

$\frac{a (- 1 (a + 3))}{3 + a}$

Étape 18.3.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{a (- 1 (a + 3))}{a + 3}$

Étape 18.3.6

Annulez le facteur commun.

$\frac{a (- 1 (a + 3))}{a + 3}$

Étape 18.3.7

Divisez $a \cdot (- 1)$ par $1$ .

$a \cdot (- 1)$

Étape 18.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 18.4.1

Déplacez $- 1$ à gauche de $a$ .

$- 1 a$

Étape 18.4.2

Réécrivez $- 1 a$ comme $- a$ .

$- a$