Mathématiques de base Exemples

$(\frac{1}{a^{2} + 5}) - (\frac{a^{2} - 5}{{(a^{2} + 5)}^{2}}) + \frac{1}{a^{2} - 5}$

Étape 1

Pour écrire $\frac{1}{a^{2} + 5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{a^{2} + 5}{a^{2} + 5}$ .

$\frac{1}{a^{2} + 5} \cdot \frac{a^{2} + 5}{a^{2} + 5} - \frac{a^{2} - 5}{{(a^{2} + 5)}^{2}} + \frac{1}{a^{2} - 5}$

Étape 2

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun ${(a^{2} + 5)}^{2}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Multipliez $\frac{1}{a^{2} + 5}$ par $\frac{a^{2} + 5}{a^{2} + 5}$ .

$\frac{a^{2} + 5}{(a^{2} + 5) (a^{2} + 5)} - \frac{a^{2} - 5}{{(a^{2} + 5)}^{2}} + \frac{1}{a^{2} - 5}$

Étape 2.2

Élevez $a^{2} + 5$ à la puissance $1$ .

$\frac{a^{2} + 5}{{(a^{2} + 5)}^{1} (a^{2} + 5)} - \frac{a^{2} - 5}{{(a^{2} + 5)}^{2}} + \frac{1}{a^{2} - 5}$

Étape 2.3

Élevez $a^{2} + 5$ à la puissance $1$ .

$\frac{a^{2} + 5}{{(a^{2} + 5)}^{1} {(a^{2} + 5)}^{1}} - \frac{a^{2} - 5}{{(a^{2} + 5)}^{2}} + \frac{1}{a^{2} - 5}$

Étape 2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{a^{2} + 5}{{(a^{2} + 5)}^{1 + 1}} - \frac{a^{2} - 5}{{(a^{2} + 5)}^{2}} + \frac{1}{a^{2} - 5}$

Étape 2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{a^{2} + 5}{{(a^{2} + 5)}^{2}} - \frac{a^{2} - 5}{{(a^{2} + 5)}^{2}} + \frac{1}{a^{2} - 5}$

Étape 3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{a^{2} + 5 - (a^{2} - 5)}{{(a^{2} + 5)}^{2}} + \frac{1}{a^{2} - 5}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a^{2} + 5 - a^{2} - - 5}{{(a^{2} + 5)}^{2}} + \frac{1}{a^{2} - 5}$

Étape 4.2

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$\frac{a^{2} + 5 - a^{2} + 5}{{(a^{2} + 5)}^{2}} + \frac{1}{a^{2} - 5}$

Étape 4.3

Soustrayez $a^{2}$ de $a^{2}$ .

$\frac{0 + 5 + 5}{{(a^{2} + 5)}^{2}} + \frac{1}{a^{2} - 5}$

Étape 4.4

Additionnez $0$ et $5$ .

$\frac{5 + 5}{{(a^{2} + 5)}^{2}} + \frac{1}{a^{2} - 5}$

Étape 4.5

Additionnez $5$ et $5$ .

$\frac{10}{{(a^{2} + 5)}^{2}} + \frac{1}{a^{2} - 5}$

Étape 5

Pour écrire $\frac{10}{{(a^{2} + 5)}^{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{a^{2} - 5}{a^{2} - 5}$ .

$\frac{10}{{(a^{2} + 5)}^{2}} \cdot \frac{a^{2} - 5}{a^{2} - 5} + \frac{1}{a^{2} - 5}$

Étape 6

Pour écrire $\frac{1}{a^{2} - 5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(a^{2} + 5)}^{2}}{{(a^{2} + 5)}^{2}}$ .

$\frac{10}{{(a^{2} + 5)}^{2}} \cdot \frac{a^{2} - 5}{a^{2} - 5} + \frac{1}{a^{2} - 5} \cdot \frac{{(a^{2} + 5)}^{2}}{{(a^{2} + 5)}^{2}}$

Étape 7

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(a^{2} - 5) {(a^{2} + 5)}^{2}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Multipliez $\frac{10}{{(a^{2} + 5)}^{2}}$ par $\frac{a^{2} - 5}{a^{2} - 5}$ .

$\frac{10 (a^{2} - 5)}{{(a^{2} + 5)}^{2} (a^{2} - 5)} + \frac{1}{a^{2} - 5} \cdot \frac{{(a^{2} + 5)}^{2}}{{(a^{2} + 5)}^{2}}$

Étape 7.2

Multipliez $\frac{1}{a^{2} - 5}$ par $\frac{{(a^{2} + 5)}^{2}}{{(a^{2} + 5)}^{2}}$ .

$\frac{10 (a^{2} - 5)}{{(a^{2} + 5)}^{2} (a^{2} - 5)} + \frac{{(a^{2} + 5)}^{2}}{(a^{2} - 5) {(a^{2} + 5)}^{2}}$

Étape 7.3

Réorganisez les facteurs de $(a^{2} - 5) {(a^{2} + 5)}^{2}$ .

$\frac{10 (a^{2} - 5)}{{(a^{2} + 5)}^{2} (a^{2} - 5)} + \frac{{(a^{2} + 5)}^{2}}{{(a^{2} + 5)}^{2} (a^{2} - 5)}$

Étape 8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{10 (a^{2} - 5) + {(a^{2} + 5)}^{2}}{{(a^{2} + 5)}^{2} (a^{2} - 5)}$

Étape 9

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{10 a^{2} + 10 \cdot - 5 + {(a^{2} + 5)}^{2}}{{(a^{2} + 5)}^{2} (a^{2} - 5)}$

Étape 9.2

Multipliez $10$ par $- 5$ .

$\frac{10 a^{2} - 50 + {(a^{2} + 5)}^{2}}{{(a^{2} + 5)}^{2} (a^{2} - 5)}$

Étape 9.3

Réécrivez ${(a^{2} + 5)}^{2}$ comme $(a^{2} + 5) (a^{2} + 5)$ .

$\frac{10 a^{2} - 50 + (a^{2} + 5) (a^{2} + 5)}{{(a^{2} + 5)}^{2} (a^{2} - 5)}$

Étape 9.4

Développez $(a^{2} + 5) (a^{2} + 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{10 a^{2} - 50 + a^{2} (a^{2} + 5) + 5 (a^{2} + 5)}{{(a^{2} + 5)}^{2} (a^{2} - 5)}$

Étape 9.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{10 a^{2} - 50 + a^{2} a^{2} + a^{2} \cdot 5 + 5 (a^{2} + 5)}{{(a^{2} + 5)}^{2} (a^{2} - 5)}$

Étape 9.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{10 a^{2} - 50 + a^{2} a^{2} + a^{2} \cdot 5 + 5 a^{2} + 5 \cdot 5}{{(a^{2} + 5)}^{2} (a^{2} - 5)}$

Étape 9.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.5.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.5.1.1

Multipliez $a^{2}$ par $a^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.5.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{10 a^{2} - 50 + a^{2 + 2} + a^{2} \cdot 5 + 5 a^{2} + 5 \cdot 5}{{(a^{2} + 5)}^{2} (a^{2} - 5)}$

Étape 9.5.1.1.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{10 a^{2} - 50 + a^{4} + a^{2} \cdot 5 + 5 a^{2} + 5 \cdot 5}{{(a^{2} + 5)}^{2} (a^{2} - 5)}$

Étape 9.5.1.2

Déplacez $5$ à gauche de $a^{2}$ .

$\frac{10 a^{2} - 50 + a^{4} + 5 \cdot a^{2} + 5 a^{2} + 5 \cdot 5}{{(a^{2} + 5)}^{2} (a^{2} - 5)}$

Étape 9.5.1.3

Multipliez $5$ par $5$ .

$\frac{10 a^{2} - 50 + a^{4} + 5 a^{2} + 5 a^{2} + 25}{{(a^{2} + 5)}^{2} (a^{2} - 5)}$

Étape 9.5.2

Additionnez $5 a^{2}$ et $5 a^{2}$ .

$\frac{10 a^{2} - 50 + a^{4} + 10 a^{2} + 25}{{(a^{2} + 5)}^{2} (a^{2} - 5)}$

Étape 9.6

Additionnez $10 a^{2}$ et $10 a^{2}$ .

$\frac{20 a^{2} - 50 + a^{4} + 25}{{(a^{2} + 5)}^{2} (a^{2} - 5)}$

Étape 9.7

Additionnez $- 50$ et $25$ .

$\frac{20 a^{2} + a^{4} - 25}{{(a^{2} + 5)}^{2} (a^{2} - 5)}$

Étape 9.8

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{a^{4} + 20 a^{2} - 25}{{(a^{2} + 5)}^{2} (a^{2} - 5)}$