Mathématiques de base Exemples

$(\frac{y^{2} + 15 y + 56}{y^{2} + 17 y + 72}) - (\frac{y^{2} + 7 y}{y^{2} + 18 y + 81})$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Factorisez $y^{2} + 15 y + 56$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $56$ et dont la somme est $15$ .

$7, 8$

Étape 1.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(y + 7) (y + 8)}{y^{2} + 17 y + 72} - (\frac{y^{2} + 7 y}{y^{2} + 18 y + 81})$

Étape 1.2

Factorisez $y^{2} + 17 y + 72$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $72$ et dont la somme est $17$ .

$8, 9$

Étape 1.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(y + 7) (y + 8)}{(y + 8) (y + 9)} - (\frac{y^{2} + 7 y}{y^{2} + 18 y + 81})$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun de $y + 8$ .

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Étape 1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(y + 7) (y + 8)}{(y + 8) (y + 9)} - (\frac{y^{2} + 7 y}{y^{2} + 18 y + 81})$

Étape 1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y + 7}{y + 9} - (\frac{y^{2} + 7 y}{y^{2} + 18 y + 81})$

Étape 1.4

Factorisez $y$ à partir de $y^{2} + 7 y$ .

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Étape 1.4.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{2}$ .

$\frac{y + 7}{y + 9} - \frac{y \cdot y + 7 y}{y^{2} + 18 y + 81}$

Étape 1.4.2

Factorisez $y$ à partir de $7 y$ .

$\frac{y + 7}{y + 9} - \frac{y \cdot y + y \cdot 7}{y^{2} + 18 y + 81}$

Étape 1.4.3

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot y + y \cdot 7$ .

$\frac{y + 7}{y + 9} - \frac{y (y + 7)}{y^{2} + 18 y + 81}$

Étape 1.5

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 1.5.1

Réécrivez $81$ comme $9^{2}$ .

$\frac{y + 7}{y + 9} - \frac{y (y + 7)}{y^{2} + 18 y + 9^{2}}$

Étape 1.5.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$18 y = 2 \cdot y \cdot 9$

Étape 1.5.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{y + 7}{y + 9} - \frac{y (y + 7)}{y^{2} + 2 \cdot y \cdot 9 + 9^{2}}$

Étape 1.5.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = y$ et $b = 9$ .

$\frac{y + 7}{y + 9} - \frac{y (y + 7)}{{(y + 9)}^{2}}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{y + 7}{y + 9}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y + 9}{y + 9}$ .

$\frac{y + 7}{y + 9} \cdot \frac{y + 9}{y + 9} - \frac{y (y + 7)}{{(y + 9)}^{2}}$

Étape 3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun ${(y + 9)}^{2}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{y + 7}{y + 9}$ par $\frac{y + 9}{y + 9}$ .

$\frac{(y + 7) (y + 9)}{(y + 9) (y + 9)} - \frac{y (y + 7)}{{(y + 9)}^{2}}$

Étape 3.2

Élevez $y + 9$ à la puissance $1$ .

$\frac{(y + 7) (y + 9)}{{(y + 9)}^{1} (y + 9)} - \frac{y (y + 7)}{{(y + 9)}^{2}}$

Étape 3.3

Élevez $y + 9$ à la puissance $1$ .

$\frac{(y + 7) (y + 9)}{{(y + 9)}^{1} {(y + 9)}^{1}} - \frac{y (y + 7)}{{(y + 9)}^{2}}$

Étape 3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(y + 7) (y + 9)}{{(y + 9)}^{1 + 1}} - \frac{y (y + 7)}{{(y + 9)}^{2}}$

Étape 3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{(y + 7) (y + 9)}{{(y + 9)}^{2}} - \frac{y (y + 7)}{{(y + 9)}^{2}}$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(y + 7) (y + 9) - y (y + 7)}{{(y + 9)}^{2}}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Factorisez $y + 7$ à partir de $(y + 7) (y + 9) - y (y + 7)$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $y + 7$ à partir de $- y (y + 7)$ .

$\frac{(y + 7) (y + 9) + (y + 7) (- y)}{{(y + 9)}^{2}}$

Étape 5.1.2

Factorisez $y + 7$ à partir de $(y + 7) (y + 9) + (y + 7) (- y)$ .

$\frac{(y + 7) (y + 9 - y)}{{(y + 9)}^{2}}$

Étape 5.2

Soustrayez $y$ de $y$ .

$\frac{(y + 7) (0 + 9)}{{(y + 9)}^{2}}$

Étape 5.3

Additionnez $0$ et $9$ .

$\frac{(y + 7) \cdot 9}{{(y + 9)}^{2}}$

Étape 6

Déplacez $9$ à gauche de $y + 7$ .

$\frac{9 (y + 7)}{{(y + 9)}^{2}}$