Mathématiques de base Exemples

$(\frac{p^{2} + q^{2}}{p q} - \frac{p^{2}}{p q + q^{2}} - \frac{q^{2}}{p^{2} + p q}) \div \frac{3}{p q}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$(\frac{p^{2} + q^{2}}{p q} - \frac{p^{2}}{p q + q^{2}} - \frac{q^{2}}{p^{2} + p q}) \frac{p q}{3}$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1

Factorisez $q$ à partir de $p q + q^{2}$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $q$ à partir de $p q$ .

$(\frac{p^{2} + q^{2}}{p q} - \frac{p^{2}}{q p + q^{2}} - \frac{q^{2}}{p^{2} + p q}) \frac{p q}{3}$

Étape 2.1.2

Factorisez $q$ à partir de $q^{2}$ .

$(\frac{p^{2} + q^{2}}{p q} - \frac{p^{2}}{q p + q \cdot q} - \frac{q^{2}}{p^{2} + p q}) \frac{p q}{3}$

Étape 2.1.3

Factorisez $q$ à partir de $q p + q \cdot q$ .

$(\frac{p^{2} + q^{2}}{p q} - \frac{p^{2}}{q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p^{2} + p q}) \frac{p q}{3}$

Étape 2.2

Factorisez $p$ à partir de $p^{2} + p q$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $p$ à partir de $p^{2}$ .

$(\frac{p^{2} + q^{2}}{p q} - \frac{p^{2}}{q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p \cdot p + p q}) \frac{p q}{3}$

Étape 2.2.2

Factorisez $p$ à partir de $p q$ .

$(\frac{p^{2} + q^{2}}{p q} - \frac{p^{2}}{q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p \cdot p + p (q)}) \frac{p q}{3}$

Étape 2.2.3

Factorisez $p$ à partir de $p \cdot p + p (q)$ .

$(\frac{p^{2} + q^{2}}{p q} - \frac{p^{2}}{q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Étape 3

Pour écrire $\frac{p^{2} + q^{2}}{p q}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{p + q}{p + q}$ .

$(\frac{p^{2} + q^{2}}{p q} \cdot \frac{p + q}{p + q} - \frac{p^{2}}{q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Étape 4

Pour écrire $- \frac{p^{2}}{q (p + q)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{p}{p}$ .

$(\frac{p^{2} + q^{2}}{p q} \cdot \frac{p + q}{p + q} - \frac{p^{2}}{q (p + q)} \cdot \frac{p}{p} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Étape 5

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $p q (p + q)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.1

Multipliez $\frac{p^{2} + q^{2}}{p q}$ par $\frac{p + q}{p + q}$ .

$(\frac{(p^{2} + q^{2}) (p + q)}{p q (p + q)} - \frac{p^{2}}{q (p + q)} \cdot \frac{p}{p} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Étape 5.2

Multipliez $\frac{p^{2}}{q (p + q)}$ par $\frac{p}{p}$ .

$(\frac{(p^{2} + q^{2}) (p + q)}{p q (p + q)} - \frac{p^{2} p}{q (p + q) p} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Étape 5.3

Réorganisez les facteurs de $q (p + q) p$ .

$(\frac{(p^{2} + q^{2}) (p + q)}{p q (p + q)} - \frac{p^{2} p}{p q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$(\frac{(p^{2} + q^{2}) (p + q) - p^{2} p}{p q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Étape 7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.1

Développez $(p^{2} + q^{2}) (p + q)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 7.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$(\frac{p^{2} (p + q) + q^{2} (p + q) - p^{2} p}{p q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Étape 7.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$(\frac{p^{2} p + p^{2} q + q^{2} (p + q) - p^{2} p}{p q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Étape 7.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$(\frac{p^{2} p + p^{2} q + q^{2} p + q^{2} q - p^{2} p}{p q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Étape 7.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.2.1

Multipliez $p^{2}$ par $p$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.1.2.1.1

Multipliez $p^{2}$ par $p$ .

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Étape 7.1.2.1.1.1

Élevez $p$ à la puissance $1$ .

$(\frac{p^{2} p^{1} + p^{2} q + q^{2} p + q^{2} q - p^{2} p}{p q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Étape 7.1.2.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(\frac{p^{2 + 1} + p^{2} q + q^{2} p + q^{2} q - p^{2} p}{p q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Étape 7.1.2.1.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$(\frac{p^{3} + p^{2} q + q^{2} p + q^{2} q - p^{2} p}{p q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Étape 7.1.2.2

Multipliez $q^{2}$ par $q$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.1.2.2.1

Multipliez $q^{2}$ par $q$ .

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Étape 7.1.2.2.1.1

Élevez $q$ à la puissance $1$ .

$(\frac{p^{3} + p^{2} q + q^{2} p + q^{2} q^{1} - p^{2} p}{p q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Étape 7.1.2.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(\frac{p^{3} + p^{2} q + q^{2} p + q^{2 + 1} - p^{2} p}{p q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Étape 7.1.2.2.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$(\frac{p^{3} + p^{2} q + q^{2} p + q^{3} - p^{2} p}{p q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Étape 7.1.3

Multipliez $p^{2}$ par $p$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.1.3.1

Déplacez $p$ .

$(\frac{p^{3} + p^{2} q + q^{2} p + q^{3} - (p \cdot p^{2})}{p q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Étape 7.1.3.2

Multipliez $p$ par $p^{2}$ .

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Étape 7.1.3.2.1

Élevez $p$ à la puissance $1$ .

$(\frac{p^{3} + p^{2} q + q^{2} p + q^{3} - (p^{1} p^{2})}{p q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Étape 7.1.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(\frac{p^{3} + p^{2} q + q^{2} p + q^{3} - p^{1 + 2}}{p q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Étape 7.1.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$(\frac{p^{3} + p^{2} q + q^{2} p + q^{3} - p^{3}}{p q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Étape 7.1.4

Soustrayez $p^{3}$ de $p^{3}$ .

$(\frac{p^{2} q + q^{2} p + q^{3} + 0}{p q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Étape 7.1.5

Additionnez $p^{2} q + q^{2} p + q^{3}$ et $0$ .

$(\frac{p^{2} q + q^{2} p + q^{3}}{p q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Étape 7.1.6

Factorisez $q$ à partir de $p^{2} q + q^{2} p + q^{3}$ .

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Étape 7.1.6.1

Factorisez $q$ à partir de $p^{2} q$ .

$(\frac{q p^{2} + q^{2} p + q^{3}}{p q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Étape 7.1.6.2

Factorisez $q$ à partir de $q^{2} p$ .

$(\frac{q p^{2} + q (q p) + q^{3}}{p q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Étape 7.1.6.3

Factorisez $q$ à partir de $q^{3}$ .

$(\frac{q p^{2} + q (q p) + q \cdot q^{2}}{p q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Étape 7.1.6.4

Factorisez $q$ à partir de $q p^{2} + q (q p)$ .

$(\frac{q (p^{2} + q p) + q \cdot q^{2}}{p q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Étape 7.1.6.5

Factorisez $q$ à partir de $q (p^{2} + q p) + q \cdot q^{2}$ .

$(\frac{q (p^{2} + q p + q^{2})}{p q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun de $q$ .

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun.

$(\frac{q (p^{2} + q p + q^{2})}{p q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Étape 7.2.2

Réécrivez l’expression.

$(\frac{p^{2} + q p + q^{2}}{p (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Étape 8

Simplifiez les termes.

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Étape 8.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{p^{2} + q p + q^{2} - q^{2}}{p (p + q)} \cdot \frac{p q}{3}$

Étape 8.2

Associez les termes opposés dans $p^{2} + q p + q^{2} - q^{2}$ .

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Étape 8.2.1

Soustrayez $q^{2}$ de $q^{2}$ .

$\frac{p^{2} + q p + 0}{p (p + q)} \cdot \frac{p q}{3}$

Étape 8.2.2

Additionnez $p^{2} + q p$ et $0$ .

$\frac{p^{2} + q p}{p (p + q)} \cdot \frac{p q}{3}$

Étape 8.3

Factorisez $p$ à partir de $p^{2} + q p$ .

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Étape 8.3.1

Factorisez $p$ à partir de $p^{2}$ .

$\frac{p \cdot p + q p}{p (p + q)} \cdot \frac{p q}{3}$

Étape 8.3.2

Factorisez $p$ à partir de $q p$ .

$\frac{p \cdot p + p q}{p (p + q)} \cdot \frac{p q}{3}$

Étape 8.3.3

Factorisez $p$ à partir de $p \cdot p + p q$ .

$\frac{p (p + q)}{p (p + q)} \cdot \frac{p q}{3}$

Étape 9

Annulez le facteur commun.

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Étape 9.1

Annulez le facteur commun de $p$ .

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Étape 9.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{p (p + q)}{p (p + q)} \cdot \frac{p q}{3}$

Étape 9.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{p + q}{p + q} \cdot \frac{p q}{3}$

Étape 9.2

Annulez le facteur commun de $p + q$ .

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Étape 9.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{p + q}{p + q} \cdot \frac{p q}{3}$

Étape 9.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 \frac{p q}{3}$

Étape 10

Multipliez $\frac{p q}{3}$ par $1$ .

$\frac{p q}{3}$