Mathématiques de base Exemples

$(\frac{{(a + b)}^{2}}{4 a b} - 1) (\frac{{(a - b)}^{2}}{4 a b} + 1)$

Étape 1

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4 a b}{4 a b}$ .

$(\frac{{(a + b)}^{2}}{4 a b} - 1 \cdot \frac{4 a b}{4 a b}) (\frac{{(a - b)}^{2}}{4 a b} + 1)$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Associez $- 1$ et $\frac{4 a b}{4 a b}$ .

$(\frac{{(a + b)}^{2}}{4 a b} + \frac{- (4 a b)}{4 a b}) (\frac{{(a - b)}^{2}}{4 a b} + 1)$

Étape 2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{{(a + b)}^{2} - (4 a b)}{4 a b} (\frac{{(a - b)}^{2}}{4 a b} + 1)$

Étape 3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1

Réécrivez ${(a + b)}^{2}$ comme $(a + b) (a + b)$ .

$\frac{(a + b) (a + b) - (4 a b)}{4 a b} (\frac{{(a - b)}^{2}}{4 a b} + 1)$

Étape 3.2

Développez $(a + b) (a + b)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a (a + b) + b (a + b) - (4 a b)}{4 a b} (\frac{{(a - b)}^{2}}{4 a b} + 1)$

Étape 3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a \cdot a + a b + b (a + b) - (4 a b)}{4 a b} (\frac{{(a - b)}^{2}}{4 a b} + 1)$

Étape 3.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a \cdot a + a b + b a + b \cdot b - (4 a b)}{4 a b} (\frac{{(a - b)}^{2}}{4 a b} + 1)$

Étape 3.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.1

Multipliez $a$ par $a$ .

$\frac{a^{2} + a b + b a + b \cdot b - (4 a b)}{4 a b} (\frac{{(a - b)}^{2}}{4 a b} + 1)$

Étape 3.3.1.2

Multipliez $b$ par $b$ .

$\frac{a^{2} + a b + b a + b^{2} - (4 a b)}{4 a b} (\frac{{(a - b)}^{2}}{4 a b} + 1)$

Étape 3.3.2

Additionnez $a b$ et $b a$ .

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Étape 3.3.2.1

Remettez dans l’ordre $b$ et $a$ .

$\frac{a^{2} + a b + a b + b^{2} - (4 a b)}{4 a b} (\frac{{(a - b)}^{2}}{4 a b} + 1)$

Étape 3.3.2.2

Additionnez $a b$ et $a b$ .

$\frac{a^{2} + 2 a b + b^{2} - (4 a b)}{4 a b} (\frac{{(a - b)}^{2}}{4 a b} + 1)$

Étape 3.4

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{a^{2} + 2 a b + b^{2} - 4 (a b)}{4 a b} (\frac{{(a - b)}^{2}}{4 a b} + 1)$

Étape 3.5

Soustrayez $4 a b$ de $2 a b$ .

$\frac{a^{2} + b^{2} - 2 a b}{4 a b} (\frac{{(a - b)}^{2}}{4 a b} + 1)$

Étape 3.6

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 3.6.1

Réorganisez les termes.

$\frac{a^{2} - 2 a b + b^{2}}{4 a b} (\frac{{(a - b)}^{2}}{4 a b} + 1)$

Étape 3.6.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 a b = 2 \cdot a \cdot b$

Étape 3.6.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{a^{2} - 2 \cdot a \cdot b + b^{2}}{4 a b} (\frac{{(a - b)}^{2}}{4 a b} + 1)$

Étape 3.6.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = a$ et $b = b$ .

$\frac{{(a - b)}^{2}}{4 a b} (\frac{{(a - b)}^{2}}{4 a b} + 1)$

Étape 4

Associez en une fraction.

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Étape 4.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{{(a - b)}^{2}}{4 a b} (\frac{{(a - b)}^{2}}{4 a b} + \frac{4 a b}{4 a b})$

Étape 4.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{{(a - b)}^{2}}{4 a b} \cdot \frac{{(a - b)}^{2} + 4 a b}{4 a b}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Réécrivez ${(a - b)}^{2}$ comme $(a - b) (a - b)$ .

$\frac{{(a - b)}^{2}}{4 a b} \cdot \frac{(a - b) (a - b) + 4 a b}{4 a b}$

Étape 5.2

Développez $(a - b) (a - b)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{{(a - b)}^{2}}{4 a b} \cdot \frac{a (a - b) - b (a - b) + 4 a b}{4 a b}$

Étape 5.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{{(a - b)}^{2}}{4 a b} \cdot \frac{a \cdot a + a (- b) - b (a - b) + 4 a b}{4 a b}$

Étape 5.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{{(a - b)}^{2}}{4 a b} \cdot \frac{a \cdot a + a (- b) - b a - b (- b) + 4 a b}{4 a b}$

Étape 5.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.1.1

Multipliez $a$ par $a$ .

$\frac{{(a - b)}^{2}}{4 a b} \cdot \frac{a^{2} + a (- b) - b a - b (- b) + 4 a b}{4 a b}$

Étape 5.3.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{{(a - b)}^{2}}{4 a b} \cdot \frac{a^{2} - a b - b a - b (- b) + 4 a b}{4 a b}$

Étape 5.3.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{{(a - b)}^{2}}{4 a b} \cdot \frac{a^{2} - a b - b a - 1 \cdot - 1 b \cdot b + 4 a b}{4 a b}$

Étape 5.3.1.4

Multipliez $b$ par $b$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.1.4.1

Déplacez $b$ .

$\frac{{(a - b)}^{2}}{4 a b} \cdot \frac{a^{2} - a b - b a - 1 \cdot - 1 (b \cdot b) + 4 a b}{4 a b}$

Étape 5.3.1.4.2

Multipliez $b$ par $b$ .

$\frac{{(a - b)}^{2}}{4 a b} \cdot \frac{a^{2} - a b - b a - 1 \cdot - 1 b^{2} + 4 a b}{4 a b}$

Étape 5.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{{(a - b)}^{2}}{4 a b} \cdot \frac{a^{2} - a b - b a + 1 b^{2} + 4 a b}{4 a b}$

Étape 5.3.1.6

Multipliez $b^{2}$ par $1$ .

$\frac{{(a - b)}^{2}}{4 a b} \cdot \frac{a^{2} - a b - b a + b^{2} + 4 a b}{4 a b}$

Étape 5.3.2

Soustrayez $b a$ de $- a b$ .

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Étape 5.3.2.1

Déplacez $b$ .

$\frac{{(a - b)}^{2}}{4 a b} \cdot \frac{a^{2} - a b - 1 a b + b^{2} + 4 a b}{4 a b}$

Étape 5.3.2.2

Soustrayez $a b$ de $- a b$ .

$\frac{{(a - b)}^{2}}{4 a b} \cdot \frac{a^{2} - 2 a b + b^{2} + 4 a b}{4 a b}$

Étape 5.4

Additionnez $- 2 a b$ et $4 a b$ .

$\frac{{(a - b)}^{2}}{4 a b} \cdot \frac{a^{2} + b^{2} + 2 a b}{4 a b}$

Étape 5.5

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 5.5.1

Réorganisez les termes.

$\frac{{(a - b)}^{2}}{4 a b} \cdot \frac{a^{2} + 2 a b + b^{2}}{4 a b}$

Étape 5.5.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 a b = 2 \cdot a \cdot b$

Étape 5.5.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{{(a - b)}^{2}}{4 a b} \cdot \frac{a^{2} + 2 \cdot a \cdot b + b^{2}}{4 a b}$

Étape 5.5.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = a$ et $b = b$ .

$\frac{{(a - b)}^{2}}{4 a b} \cdot \frac{{(a + b)}^{2}}{4 a b}$

Étape 6

Associez.

$\frac{{(a - b)}^{2} {(a + b)}^{2}}{4 a b (4 a b)}$

Étape 7

Multipliez $a$ par $a$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.1

Déplacez $a$ .

$\frac{{(a - b)}^{2} {(a + b)}^{2}}{4 (a \cdot a) b (4 b)}$

Étape 7.2

Multipliez $a$ par $a$ .

$\frac{{(a - b)}^{2} {(a + b)}^{2}}{4 a^{2} b (4 b)}$

Étape 8

Multipliez $b$ par $b$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.1

Déplacez $b$ .

$\frac{{(a - b)}^{2} {(a + b)}^{2}}{4 a^{2} (b \cdot b) \cdot 4}$

Étape 8.2

Multipliez $b$ par $b$ .

$\frac{{(a - b)}^{2} {(a + b)}^{2}}{4 a^{2} b^{2} \cdot 4}$

Étape 9

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{{(a - b)}^{2} {(a + b)}^{2}}{16 a^{2} b^{2}}$