Mathématiques de base Exemples

$(\sqrt[3]{5} + \sqrt[4]{2}) (\sqrt{5} + \sqrt{2})$

Étape 1

Développez $(\sqrt[3]{5} + \sqrt[4]{2}) (\sqrt{5} + \sqrt{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt[3]{5} (\sqrt{5} + \sqrt{2}) + \sqrt[4]{2} (\sqrt{5} + \sqrt{2})$

Étape 1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt[3]{5} \sqrt{5} + \sqrt[3]{5} \sqrt{2} + \sqrt[4]{2} (\sqrt{5} + \sqrt{2})$

Étape 1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt[3]{5} \sqrt{5} + \sqrt[3]{5} \sqrt{2} + \sqrt[4]{2} \sqrt{5} + \sqrt[4]{2} \sqrt{2}$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1

Multipliez $\sqrt[3]{5} \sqrt{5}$ .

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Étape 2.1.1

Réécrivez l’expression en utilisant le plus petit indice commun de $6$ .

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Étape 2.1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{5}$ comme $5^{\frac{1}{3}}$ .

$5^{\frac{1}{3}} \sqrt{5} + \sqrt[3]{5} \sqrt{2} + \sqrt[4]{2} \sqrt{5} + \sqrt[4]{2} \sqrt{2}$

Étape 2.1.1.2

Réécrivez $5^{\frac{1}{3}}$ comme $5^{\frac{2}{6}}$ .

$5^{\frac{2}{6}} \sqrt{5} + \sqrt[3]{5} \sqrt{2} + \sqrt[4]{2} \sqrt{5} + \sqrt[4]{2} \sqrt{2}$

Étape 2.1.1.3

Réécrivez $5^{\frac{2}{6}}$ comme $\sqrt[6]{5^{2}}$ .

$\sqrt[6]{5^{2}} \sqrt{5} + \sqrt[3]{5} \sqrt{2} + \sqrt[4]{2} \sqrt{5} + \sqrt[4]{2} \sqrt{2}$

Étape 2.1.1.4

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt[6]{5^{2}} \cdot 5^{\frac{1}{2}} + \sqrt[3]{5} \sqrt{2} + \sqrt[4]{2} \sqrt{5} + \sqrt[4]{2} \sqrt{2}$

Étape 2.1.1.5

Réécrivez $5^{\frac{1}{2}}$ comme $5^{\frac{3}{6}}$ .

$\sqrt[6]{5^{2}} \cdot 5^{\frac{3}{6}} + \sqrt[3]{5} \sqrt{2} + \sqrt[4]{2} \sqrt{5} + \sqrt[4]{2} \sqrt{2}$

Étape 2.1.1.6

Réécrivez $5^{\frac{3}{6}}$ comme $\sqrt[6]{5^{3}}$ .

$\sqrt[6]{5^{2}} \sqrt[6]{5^{3}} + \sqrt[3]{5} \sqrt{2} + \sqrt[4]{2} \sqrt{5} + \sqrt[4]{2} \sqrt{2}$

Étape 2.1.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\sqrt[6]{5^{2} \cdot 5^{3}} + \sqrt[3]{5} \sqrt{2} + \sqrt[4]{2} \sqrt{5} + \sqrt[4]{2} \sqrt{2}$

Étape 2.1.3

Multipliez $5^{2}$ par $5^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.3.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sqrt[6]{5^{2 + 3}} + \sqrt[3]{5} \sqrt{2} + \sqrt[4]{2} \sqrt{5} + \sqrt[4]{2} \sqrt{2}$

Étape 2.1.3.2

Additionnez $2$ et $3$ .

$\sqrt[6]{5^{5}} + \sqrt[3]{5} \sqrt{2} + \sqrt[4]{2} \sqrt{5} + \sqrt[4]{2} \sqrt{2}$

Étape 2.2

Élevez $5$ à la puissance $5$ .

$\sqrt[6]{3125} + \sqrt[3]{5} \sqrt{2} + \sqrt[4]{2} \sqrt{5} + \sqrt[4]{2} \sqrt{2}$

Étape 2.3

Multipliez $\sqrt[3]{5} \sqrt{2}$ .

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Étape 2.3.1

Réécrivez l’expression en utilisant le plus petit indice commun de $6$ .

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Étape 2.3.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{5}$ comme $5^{\frac{1}{3}}$ .

$\sqrt[6]{3125} + 5^{\frac{1}{3}} \sqrt{2} + \sqrt[4]{2} \sqrt{5} + \sqrt[4]{2} \sqrt{2}$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez $5^{\frac{1}{3}}$ comme $5^{\frac{2}{6}}$ .

$\sqrt[6]{3125} + 5^{\frac{2}{6}} \sqrt{2} + \sqrt[4]{2} \sqrt{5} + \sqrt[4]{2} \sqrt{2}$

Étape 2.3.1.3

Réécrivez $5^{\frac{2}{6}}$ comme $\sqrt[6]{5^{2}}$ .

$\sqrt[6]{3125} + \sqrt[6]{5^{2}} \sqrt{2} + \sqrt[4]{2} \sqrt{5} + \sqrt[4]{2} \sqrt{2}$

Étape 2.3.1.4

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt[6]{3125} + \sqrt[6]{5^{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}} + \sqrt[4]{2} \sqrt{5} + \sqrt[4]{2} \sqrt{2}$

Étape 2.3.1.5

Réécrivez $2^{\frac{1}{2}}$ comme $2^{\frac{3}{6}}$ .

$\sqrt[6]{3125} + \sqrt[6]{5^{2}} \cdot 2^{\frac{3}{6}} + \sqrt[4]{2} \sqrt{5} + \sqrt[4]{2} \sqrt{2}$

Étape 2.3.1.6

Réécrivez $2^{\frac{3}{6}}$ comme $\sqrt[6]{2^{3}}$ .

$\sqrt[6]{3125} + \sqrt[6]{5^{2}} \sqrt[6]{2^{3}} + \sqrt[4]{2} \sqrt{5} + \sqrt[4]{2} \sqrt{2}$

Étape 2.3.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\sqrt[6]{3125} + \sqrt[6]{5^{2} \cdot 2^{3}} + \sqrt[4]{2} \sqrt{5} + \sqrt[4]{2} \sqrt{2}$

Étape 2.3.3

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\sqrt[6]{3125} + \sqrt[6]{25 \cdot 2^{3}} + \sqrt[4]{2} \sqrt{5} + \sqrt[4]{2} \sqrt{2}$

Étape 2.3.4

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\sqrt[6]{3125} + \sqrt[6]{25 \cdot 8} + \sqrt[4]{2} \sqrt{5} + \sqrt[4]{2} \sqrt{2}$

Étape 2.3.5

Multipliez $25$ par $8$ .

$\sqrt[6]{3125} + \sqrt[6]{200} + \sqrt[4]{2} \sqrt{5} + \sqrt[4]{2} \sqrt{2}$

Étape 2.4

Multipliez $\sqrt[4]{2} \sqrt{5}$ .

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Étape 2.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant le plus petit indice commun de $4$ .

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Étape 2.4.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt[6]{3125} + \sqrt[6]{200} + \sqrt[4]{2} \cdot 5^{\frac{1}{2}} + \sqrt[4]{2} \sqrt{2}$

Étape 2.4.1.2

Réécrivez $5^{\frac{1}{2}}$ comme $5^{\frac{2}{4}}$ .

$\sqrt[6]{3125} + \sqrt[6]{200} + \sqrt[4]{2} \cdot 5^{\frac{2}{4}} + \sqrt[4]{2} \sqrt{2}$

Étape 2.4.1.3

Réécrivez $5^{\frac{2}{4}}$ comme $\sqrt[4]{5^{2}}$ .

$\sqrt[6]{3125} + \sqrt[6]{200} + \sqrt[4]{2} \sqrt[4]{5^{2}} + \sqrt[4]{2} \sqrt{2}$

Étape 2.4.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\sqrt[6]{3125} + \sqrt[6]{200} + \sqrt[4]{2 \cdot 5^{2}} + \sqrt[4]{2} \sqrt{2}$

Étape 2.4.3

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\sqrt[6]{3125} + \sqrt[6]{200} + \sqrt[4]{2 \cdot 25} + \sqrt[4]{2} \sqrt{2}$

Étape 2.4.4

Multipliez $2$ par $25$ .

$\sqrt[6]{3125} + \sqrt[6]{200} + \sqrt[4]{50} + \sqrt[4]{2} \sqrt{2}$

Étape 2.5

Multipliez $\sqrt[4]{2} \sqrt{2}$ .

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Étape 2.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant le plus petit indice commun de $4$ .

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Étape 2.5.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt[6]{3125} + \sqrt[6]{200} + \sqrt[4]{50} + \sqrt[4]{2} \cdot 2^{\frac{1}{2}}$

Étape 2.5.1.2

Réécrivez $2^{\frac{1}{2}}$ comme $2^{\frac{2}{4}}$ .

$\sqrt[6]{3125} + \sqrt[6]{200} + \sqrt[4]{50} + \sqrt[4]{2} \cdot 2^{\frac{2}{4}}$

Étape 2.5.1.3

Réécrivez $2^{\frac{2}{4}}$ comme $\sqrt[4]{2^{2}}$ .

$\sqrt[6]{3125} + \sqrt[6]{200} + \sqrt[4]{50} + \sqrt[4]{2} \sqrt[4]{2^{2}}$

Étape 2.5.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\sqrt[6]{3125} + \sqrt[6]{200} + \sqrt[4]{50} + \sqrt[4]{2 \cdot 2^{2}}$

Étape 2.5.3

Multipliez $2$ par $2^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.5.3.1

Multipliez $2$ par $2^{2}$ .

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Étape 2.5.3.1.1

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$\sqrt[6]{3125} + \sqrt[6]{200} + \sqrt[4]{50} + \sqrt[4]{2^{1} \cdot 2^{2}}$

Étape 2.5.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sqrt[6]{3125} + \sqrt[6]{200} + \sqrt[4]{50} + \sqrt[4]{2^{1 + 2}}$

Étape 2.5.3.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\sqrt[6]{3125} + \sqrt[6]{200} + \sqrt[4]{50} + \sqrt[4]{2^{3}}$

Étape 2.6

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\sqrt[6]{3125} + \sqrt[6]{200} + \sqrt[4]{50} + \sqrt[4]{8}$

Étape 3

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\sqrt[6]{3125} + \sqrt[6]{200} + \sqrt[4]{50} + \sqrt[4]{8}$

Forme décimale :

$10.58283441 \dots$