Mathématiques de base Exemples

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot (\frac{m + n}{m - n} - \frac{m - n}{m + n})$

Étape 1

Pour écrire $\frac{m + n}{m - n}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{m + n}{m + n}$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot (\frac{m + n}{m - n} \cdot \frac{m + n}{m + n} - \frac{m - n}{m + n})$

Étape 2

Pour écrire $- \frac{m - n}{m + n}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{m - n}{m - n}$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot (\frac{m + n}{m - n} \cdot \frac{m + n}{m + n} - \frac{m - n}{m + n} \cdot \frac{m - n}{m - n})$

Étape 3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(m - n) (m + n)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{m + n}{m - n}$ par $\frac{m + n}{m + n}$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot (\frac{(m + n) (m + n)}{(m - n) (m + n)} - \frac{m - n}{m + n} \cdot \frac{m - n}{m - n})$

Étape 3.2

Multipliez $\frac{m - n}{m + n}$ par $\frac{m - n}{m - n}$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot (\frac{(m + n) (m + n)}{(m - n) (m + n)} - \frac{(m - n) (m - n)}{(m + n) (m - n)})$

Étape 3.3

Réorganisez les facteurs de $(m - n) (m + n)$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot (\frac{(m + n) (m + n)}{(m + n) (m - n)} - \frac{(m - n) (m - n)}{(m + n) (m - n)})$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{(m + n) (m + n) - (m - n) (m - n)}{(m + n) (m - n)}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Élevez $m + n$ à la puissance $1$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{{(m + n)}^{1} (m + n) - (m - n) (m - n)}{(m + n) (m - n)}$

Étape 5.2

Élevez $m + n$ à la puissance $1$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{{(m + n)}^{1} {(m + n)}^{1} - (m - n) (m - n)}{(m + n) (m - n)}$

Étape 5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{{(m + n)}^{1 + 1} - (m - n) (m - n)}{(m + n) (m - n)}$

Étape 5.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{{(m + n)}^{2} - (m - n) (m - n)}{(m + n) (m - n)}$

Étape 5.5

Réécrivez $(m - n) (m - n)$ comme ${(m - n)}^{2}$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{{(m + n)}^{2} - {(m - n)}^{2}}{(m + n) (m - n)}$

Étape 5.6

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = m + n$ et $b = m - n$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{(m + n + m - n) (m + n - (m - n))}{(m + n) (m - n)}$

Étape 5.7

Simplifiez

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Étape 5.7.1

Additionnez $m$ et $m$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{(2 m + n - n) (m + n - (m - n))}{(m + n) (m - n)}$

Étape 5.7.2

Soustrayez $n$ de $n$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{(2 m + 0) (m + n - (m - n))}{(m + n) (m - n)}$

Étape 5.7.3

Additionnez $2 m$ et $0$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{2 m (m + n - (m - n))}{(m + n) (m - n)}$

Étape 5.7.4

Appliquez la propriété distributive.

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{2 m (m + n - m - - n)}{(m + n) (m - n)}$

Étape 5.7.5

Multipliez $- - n$ .

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Étape 5.7.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{2 m (m + n - m + 1 n)}{(m + n) (m - n)}$

Étape 5.7.5.2

Multipliez $n$ par $1$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{2 m (m + n - m + n)}{(m + n) (m - n)}$

Étape 5.7.6

Soustrayez $m$ de $m$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{2 m (n + 0 + n)}{(m + n) (m - n)}$

Étape 5.7.7

Additionnez $n$ et $0$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{2 m (n + n)}{(m + n) (m - n)}$

Étape 5.7.8

Additionnez $n$ et $n$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{2 m \cdot 2 n}{(m + n) (m - n)}$

Étape 5.7.9

Multipliez $2$ par $2$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{4 m n}{(m + n) (m - n)}$

Étape 6

Multipliez $\frac{m}{n} - \frac{n}{m}$ par $\frac{4 m n}{(m + n) (m - n)}$ .

$\frac{(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) (4 m n)}{(m + n) (m - n)}$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Pour écrire $\frac{m}{n}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{m}{m}$ .

$\frac{(\frac{m}{n} \cdot \frac{m}{m} - \frac{n}{m}) \cdot 4 m n}{(m + n) (m - n)}$

Étape 7.2

Pour écrire $- \frac{n}{m}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{n}{n}$ .

$\frac{(\frac{m}{n} \cdot \frac{m}{m} - \frac{n}{m} \cdot \frac{n}{n}) \cdot 4 m n}{(m + n) (m - n)}$

Étape 7.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $n m$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 7.3.1

Multipliez $\frac{m}{n}$ par $\frac{m}{m}$ .

$\frac{(\frac{m \cdot m}{n m} - \frac{n}{m} \cdot \frac{n}{n}) \cdot 4 m n}{(m + n) (m - n)}$

Étape 7.3.2

Multipliez $\frac{n}{m}$ par $\frac{n}{n}$ .

$\frac{(\frac{m \cdot m}{n m} - \frac{n \cdot n}{m n}) \cdot 4 m n}{(m + n) (m - n)}$

Étape 7.3.3

Réorganisez les facteurs de $n m$ .

$\frac{(\frac{m \cdot m}{m n} - \frac{n \cdot n}{m n}) \cdot 4 m n}{(m + n) (m - n)}$

Étape 7.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{m \cdot m - n \cdot n}{m n} \cdot 4 m n}{(m + n) (m - n)}$

Étape 7.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.5.1

Élevez $m$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{m^{1} m - n \cdot n}{m n} \cdot 4 m n}{(m + n) (m - n)}$

Étape 7.5.2

Élevez $m$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{m^{1} m^{1} - n \cdot n}{m n} \cdot 4 m n}{(m + n) (m - n)}$

Étape 7.5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{m^{1 + 1} - n \cdot n}{m n} \cdot 4 m n}{(m + n) (m - n)}$

Étape 7.5.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{m^{2} - n \cdot n}{m n} \cdot 4 m n}{(m + n) (m - n)}$

Étape 7.5.5

Réécrivez $n \cdot n$ comme $n^{2}$ .

$\frac{\frac{m^{2} - n^{2}}{m n} \cdot 4 m n}{(m + n) (m - n)}$

Étape 7.5.6

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = m$ et $b = n$ .

$\frac{\frac{(m + n) (m - n)}{m n} \cdot 4 m n}{(m + n) (m - n)}$

Étape 7.6

Associez les exposants.

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Étape 7.6.1

Associez $\frac{(m + n) (m - n)}{m n}$ et $4$ .

$\frac{\frac{(m + n) (m - n) \cdot 4}{m n} m n}{(m + n) (m - n)}$

Étape 7.6.2

Associez $\frac{(m + n) (m - n) \cdot 4}{m n}$ et $m$ .

$\frac{\frac{(m + n) (m - n) \cdot 4 m}{m n} n}{(m + n) (m - n)}$

Étape 7.6.3

Associez $\frac{(m + n) (m - n) \cdot 4 m}{m n}$ et $n$ .

$\frac{\frac{(m + n) (m - n) \cdot 4 m n}{m n}}{(m + n) (m - n)}$

Étape 7.7

Réduisez l’expression $\frac{(m + n) (m - n) \cdot 4 m n}{m n}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 7.7.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{(m + n) (m - n) \cdot 4 m n}{m n}}{(m + n) (m - n)}$

Étape 7.7.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{(m + n) (m - n) \cdot 4 n}{n}}{(m + n) (m - n)}$

Étape 7.8

Annulez le facteur commun de $n$ .

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Étape 7.8.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{(m + n) (m - n) \cdot 4 n}{n}}{(m + n) (m - n)}$

Étape 7.8.2

Divisez $(m + n) (m - n) \cdot 4$ par $1$ .

$\frac{(m + n) (m - n) \cdot 4}{(m + n) (m - n)}$

Étape 7.9

Développez $(m + n) (m - n)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 7.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(m (m - n) + n (m - n)) \cdot 4}{(m + n) (m - n)}$

Étape 7.9.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(m \cdot m + m (- n) + n (m - n)) \cdot 4}{(m + n) (m - n)}$

Étape 7.9.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(m \cdot m + m (- n) + n m + n (- n)) \cdot 4}{(m + n) (m - n)}$

Étape 7.10

Associez les termes opposés dans $m \cdot m + m (- n) + n m + n (- n)$ .

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Étape 7.10.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $m (- n)$ et $n m$ .

$\frac{(m \cdot m - m n + m n + n (- n)) \cdot 4}{(m + n) (m - n)}$

Étape 7.10.2

Additionnez $- m n$ et $m n$ .

$\frac{(m \cdot m + 0 + n (- n)) \cdot 4}{(m + n) (m - n)}$

Étape 7.10.3

Additionnez $m \cdot m$ et $0$ .

$\frac{(m \cdot m + n (- n)) \cdot 4}{(m + n) (m - n)}$

Étape 7.11

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.11.1

Multipliez $m$ par $m$ .

$\frac{(m^{2} + n (- n)) \cdot 4}{(m + n) (m - n)}$

Étape 7.11.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{(m^{2} - n \cdot n) \cdot 4}{(m + n) (m - n)}$

Étape 7.11.3

Multipliez $n$ par $n$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.11.3.1

Déplacez $n$ .

$\frac{(m^{2} - (n \cdot n)) \cdot 4}{(m + n) (m - n)}$

Étape 7.11.3.2

Multipliez $n$ par $n$ .

$\frac{(m^{2} - n^{2}) \cdot 4}{(m + n) (m - n)}$

Étape 7.12

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{m^{2} \cdot 4 - n^{2} \cdot 4}{(m + n) (m - n)}$

Étape 7.13

Déplacez $4$ à gauche de $m^{2}$ .

$\frac{4 \cdot m^{2} - n^{2} \cdot 4}{(m + n) (m - n)}$

Étape 7.14

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{4 \cdot m^{2} - 4 n^{2}}{(m + n) (m - n)}$

Étape 7.15

Factorisez $4$ à partir de $4 m^{2} - 4 n^{2}$ .

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Étape 7.15.1

Factorisez $4$ à partir de $4 m^{2}$ .

$\frac{4 (m^{2}) - 4 n^{2}}{(m + n) (m - n)}$

Étape 7.15.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4 n^{2}$ .

$\frac{4 (m^{2}) + 4 (- n^{2})}{(m + n) (m - n)}$

Étape 7.15.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (m^{2}) + 4 (- n^{2})$ .

$\frac{4 (m^{2} - n^{2})}{(m + n) (m - n)}$

Étape 7.16

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = m$ et $b = n$ .

$\frac{4 (m + n) (m - n)}{(m + n) (m - n)}$

Étape 8

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 8.1

Annulez le facteur commun de $m + n$ .

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Étape 8.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 (m + n) (m - n)}{(m + n) (m - n)}$

Étape 8.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 (m - n)}{m - n}$

Étape 8.2

Annulez le facteur commun de $m - n$ .

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 (m - n)}{m - n}$

Étape 8.2.2

Divisez $4$ par $1$ .

$4$