Mathématiques de base Exemples

$\frac{5}{10} = \frac{10 (1 - e^{- 0.2 t})}{10}$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $\frac{10 (1 - e^{- 0.2 t})}{10} = \frac{5}{10}$ .

$\frac{10 (1 - e^{- 0.2 t})}{10} = \frac{5}{10}$

Étape 2

Comme l’expression de chaque côté de l’équation a le même dénominateur, les numérateurs doivent être égaux.

$10 (1 - e^{- 0.2 t}) = 5$

Étape 3

Divisez chaque terme dans $10 (1 - e^{- 0.2 t}) = 5$ par $10$ et simplifiez.

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $10 (1 - e^{- 0.2 t}) = 5$ par $10$ .

$\frac{10 (1 - e^{- 0.2 t})}{10} = \frac{5}{10}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de $10$ .

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{10 (1 - e^{- 0.2 t})}{10} = \frac{5}{10}$

Étape 3.2.1.2

Divisez $1 - e^{- 0.2 t}$ par $1$ .

$1 - e^{- 0.2 t} = \frac{5}{10}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Annulez le facteur commun à $5$ et $10$ .

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Étape 3.3.1.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$1 - e^{- 0.2 t} = \frac{5 (1)}{10}$

Étape 3.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.1.2.1

Factorisez $5$ à partir de $10$ .

$1 - e^{- 0.2 t} = \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 2}$

Étape 3.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$1 - e^{- 0.2 t} = \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 2}$

Étape 3.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$1 - e^{- 0.2 t} = \frac{1}{2}$

Étape 4

Déplacez tous les termes ne contenant pas $t$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- e^{- 0.2 t} = \frac{1}{2} - 1$

Étape 4.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- e^{- 0.2 t} = \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 4.3

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$- e^{- 0.2 t} = \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Étape 4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- e^{- 0.2 t} = \frac{1 - 1 \cdot 2}{2}$

Étape 4.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- e^{- 0.2 t} = \frac{1 - 2}{2}$

Étape 4.5.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$- e^{- 0.2 t} = \frac{- 1}{2}$

Étape 4.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- e^{- 0.2 t} = - \frac{1}{2}$

Étape 5

Divisez chaque terme dans $- e^{- 0.2 t} = - \frac{1}{2}$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $- e^{- 0.2 t} = - \frac{1}{2}$ par $- 1$ .

$\frac{- e^{- 0.2 t}}{- 1} = \frac{- \frac{1}{2}}{- 1}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{e^{- 0.2 t}}{1} = \frac{- \frac{1}{2}}{- 1}$

Étape 5.2.2

Divisez $e^{- 0.2 t}$ par $1$ .

$e^{- 0.2 t} = \frac{- \frac{1}{2}}{- 1}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$e^{- 0.2 t} = \frac{\frac{1}{2}}{1}$

Étape 5.3.2

Divisez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$e^{- 0.2 t} = \frac{1}{2}$

Étape 6

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{- 0.2 t}) = \ln (\frac{1}{2})$

Étape 7

Développez le côté gauche.

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Étape 7.1

Développez $\ln (e^{- 0.2 t})$ en déplaçant $- 0.2 t$ hors du logarithme.

$- 0.2 t \ln (e) = \ln (\frac{1}{2})$

Étape 7.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$- 0.2 t \cdot 1 = \ln (\frac{1}{2})$

Étape 7.3

Multipliez $- 0.2$ par $1$ .

$- 0.2 t = \ln (\frac{1}{2})$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $- 0.2 t = \ln (\frac{1}{2})$ par $- 0.2$ et simplifiez.

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $- 0.2 t = \ln (\frac{1}{2})$ par $- 0.2$ .

$\frac{- 0.2 t}{- 0.2} = \frac{\ln (\frac{1}{2})}{- 0.2}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $- 0.2$ .

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 0.2 t}{- 0.2} = \frac{\ln (\frac{1}{2})}{- 0.2}$

Étape 8.2.1.2

Divisez $t$ par $1$ .

$t = \frac{\ln (\frac{1}{2})}{- 0.2}$

Étape 8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$t = - \frac{\ln (\frac{1}{2})}{0.2}$

Étape 8.3.2

Remplacez $e$ par une approximation.

$t = - \frac{\log_{2.71828182} (\frac{1}{2})}{0.2}$

Étape 8.3.3

Divisez $1$ par $2$ .

$t = - \frac{\log_{2.71828182} (0.5)}{0.2}$

Étape 8.3.4

La base logarithmique $2.71828182$ de $0.5$ est approximativement $- 0.69314718$ .

$t = - \frac{- 0.69314718}{0.2}$

Étape 8.3.5

Divisez $- 0.69314718$ par $0.2$ .

$t = - - 3.4657359$

Étape 8.3.6

Multipliez $- 1$ par $- 3.4657359$ .

$t = 3.4657359$