Mathématiques de base Exemples

$y^{2} - \sqrt{y^{2}} - | y - 2 | - 11 = 0$

Étape 1

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$y^{2} - y - | y - 2 | - 11 = 0$

Étape 2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $| y - 2 |$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.1

Soustrayez $y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$- y - | y - 2 | - 11 = - y^{2}$

Étape 2.2

Ajoutez $y$ aux deux côtés de l’équation.

$- | y - 2 | - 11 = - y^{2} + y$

Étape 2.3

Ajoutez $11$ aux deux côtés de l’équation.

$- | y - 2 | = - y^{2} + y + 11$

Étape 3

Divisez chaque terme dans $- | y - 2 | = - y^{2} + y + 11$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $- | y - 2 | = - y^{2} + y + 11$ par $- 1$ .

$\frac{- | y - 2 |}{- 1} = \frac{- y^{2}}{- 1} + \frac{y}{- 1} + \frac{11}{- 1}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{| y - 2 |}{1} = \frac{- y^{2}}{- 1} + \frac{y}{- 1} + \frac{11}{- 1}$

Étape 3.2.2

Divisez $| y - 2 |$ par $1$ .

$| y - 2 | = \frac{- y^{2}}{- 1} + \frac{y}{- 1} + \frac{11}{- 1}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$| y - 2 | = \frac{y^{2}}{1} + \frac{y}{- 1} + \frac{11}{- 1}$

Étape 3.3.1.2

Divisez $y^{2}$ par $1$ .

$| y - 2 | = y^{2} + \frac{y}{- 1} + \frac{11}{- 1}$

Étape 3.3.1.3

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{y}{- 1}$ .

$| y - 2 | = y^{2} - 1 \cdot y + \frac{11}{- 1}$

Étape 3.3.1.4

Réécrivez $- 1 \cdot y$ comme $- y$ .

$| y - 2 | = y^{2} - y + \frac{11}{- 1}$

Étape 3.3.1.5

Divisez $11$ par $- 1$ .

$| y - 2 | = y^{2} - y - 11$

Étape 4

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y - 2 = \pm (y^{2} - y - 11)$

Étape 5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y - 2 = y^{2} - y - 11$

Étape 5.2

Comme $y$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$y^{2} - y - 11 = y - 2$

Étape 5.3

Déplacez tous les termes contenant $y$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 5.3.1

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$y^{2} - y - 11 - y = - 2$

Étape 5.3.2

Soustrayez $y$ de $- y$ .

$y^{2} - 2 y - 11 = - 2$

Étape 5.4

Déplacez tous les termes du côté gauche de l’équation et simplifiez.

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Étape 5.4.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$y^{2} - 2 y - 11 + 2 = 0$

Étape 5.4.2

Additionnez $- 11$ et $2$ .

$y^{2} - 2 y - 9 = 0$

Étape 5.5

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 5.6

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 2$ et $c = - 9$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 9)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.7

Simplifiez

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Étape 5.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.7.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 9}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 9$ .

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Étape 5.7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 9}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.7.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 9$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 36}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.7.1.3

Additionnez $4$ et $36$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{40}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.7.1.4

Réécrivez $40$ comme $2^{2} \cdot 10$ .

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Étape 5.7.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $40$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (10)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.7.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.7.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{10}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.7.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{10}}{2}$

Étape 5.7.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 \sqrt{10}}{2}$ .

$y = 1 \pm \sqrt{10}$

Étape 5.8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = 1 + \sqrt{10}, 1 - \sqrt{10}$

Étape 5.9

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y - 2 = - (y^{2} - y - 11)$

Étape 5.10

Comme $y$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$- (y^{2} - y - 11) = y - 2$

Étape 5.11

Simplifiez $- (y^{2} - y - 11)$ .

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Étape 5.11.1

Réécrivez.

$0 + 0 - (y^{2} - y - 11) = y - 2$

Étape 5.11.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$- (y^{2} - y - 11) = y - 2$

Étape 5.11.3

Appliquez la propriété distributive.

$- y^{2} - - y - - 11 = y - 2$

Étape 5.11.4

Simplifiez

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Étape 5.11.4.1

Multipliez $- - y$ .

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Étape 5.11.4.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- y^{2} + 1 y - - 11 = y - 2$

Étape 5.11.4.1.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$- y^{2} + y - - 11 = y - 2$

Étape 5.11.4.2

Multipliez $- 1$ par $- 11$ .

$- y^{2} + y + 11 = y - 2$

Étape 5.12

Déplacez tous les termes contenant $y$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 5.12.1

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$- y^{2} + y + 11 - y = - 2$

Étape 5.12.2

Associez les termes opposés dans $- y^{2} + y + 11 - y$ .

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Étape 5.12.2.1

Soustrayez $y$ de $y$ .

$- y^{2} + 0 + 11 = - 2$

Étape 5.12.2.2

Additionnez $- y^{2}$ et $0$ .

$- y^{2} + 11 = - 2$

Étape 5.13

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.13.1

Soustrayez $11$ des deux côtés de l’équation.

$- y^{2} = - 2 - 11$

Étape 5.13.2

Soustrayez $11$ de $- 2$ .

$- y^{2} = - 13$

Étape 5.14

Divisez chaque terme dans $- y^{2} = - 13$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 5.14.1

Divisez chaque terme dans $- y^{2} = - 13$ par $- 1$ .

$\frac{- y^{2}}{- 1} = \frac{- 13}{- 1}$

Étape 5.14.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.14.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{y^{2}}{1} = \frac{- 13}{- 1}$

Étape 5.14.2.2

Divisez $y^{2}$ par $1$ .

$y^{2} = \frac{- 13}{- 1}$

Étape 5.14.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.14.3.1

Divisez $- 13$ par $- 1$ .

$y^{2} = 13$

Étape 5.15

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{13}$

Étape 5.16

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.16.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \sqrt{13}$

Étape 5.16.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \sqrt{13}$

Étape 5.16.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \sqrt{13}, - \sqrt{13}$

Étape 5.17

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = 1 + \sqrt{10}, 1 - \sqrt{10}, \sqrt{13}, - \sqrt{13}$

Étape 6

Excluez les solutions qui ne rendent pas $y^{2} - \sqrt{y^{2}} - | y - 2 | - 11 = 0$ vrai.

$y = 1 + \sqrt{10}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$y = 1 + \sqrt{10}$

Forme décimale :

$y = 4.16227766 \dots$