Mathématiques de base Exemples

$\sqrt{16 y + 1} = 2 \sqrt{7 y} - 1$

Étape 1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{16 y + 1}}^{2} = {(2 \sqrt{7 y} - 1)}^{2}$

Étape 2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{16 y + 1}$ comme ${(16 y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(16 y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 \sqrt{7 y} - 1)}^{2}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez ${({(16 y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(16 y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(16 y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 \sqrt{7 y} - 1)}^{2}$

Étape 2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(16 y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 \sqrt{7 y} - 1)}^{2}$

Étape 2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(16 y + 1)}^{1} = {(2 \sqrt{7 y} - 1)}^{2}$

Étape 2.2.1.2

Simplifiez

$16 y + 1 = {(2 \sqrt{7 y} - 1)}^{2}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Simplifiez ${(2 \sqrt{7 y} - 1)}^{2}$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez ${(2 \sqrt{7 y} - 1)}^{2}$ comme $(2 \sqrt{7 y} - 1) (2 \sqrt{7 y} - 1)$ .

$16 y + 1 = (2 \sqrt{7 y} - 1) (2 \sqrt{7 y} - 1)$

Étape 2.3.1.2

Développez $(2 \sqrt{7 y} - 1) (2 \sqrt{7 y} - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$16 y + 1 = 2 \sqrt{7 y} (2 \sqrt{7 y} - 1) - 1 (2 \sqrt{7 y} - 1)$

Étape 2.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$16 y + 1 = 2 \sqrt{7 y} (2 \sqrt{7 y}) + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y} - 1)$

Étape 2.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$16 y + 1 = 2 \sqrt{7 y} (2 \sqrt{7 y}) + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

Étape 2.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.3.1.1

Multipliez $2 \sqrt{7 y} (2 \sqrt{7 y})$ .

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Étape 2.3.1.3.1.1.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$16 y + 1 = 4 \sqrt{7 y} \sqrt{7 y} + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

Étape 2.3.1.3.1.1.2

Élevez $\sqrt{7 y}$ à la puissance $1$ .

$16 y + 1 = 4 ({\sqrt{7 y}}^{1} \sqrt{7 y}) + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

Étape 2.3.1.3.1.1.3

Élevez $\sqrt{7 y}$ à la puissance $1$ .

$16 y + 1 = 4 ({\sqrt{7 y}}^{1} {\sqrt{7 y}}^{1}) + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

Étape 2.3.1.3.1.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$16 y + 1 = 4 {\sqrt{7 y}}^{1 + 1} + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

Étape 2.3.1.3.1.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$16 y + 1 = 4 {\sqrt{7 y}}^{2} + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

Étape 2.3.1.3.1.2

Réécrivez ${\sqrt{7 y}}^{2}$ comme $7 y$ .

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Étape 2.3.1.3.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{7 y}$ comme ${(7 y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$16 y + 1 = 4 {({(7 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

Étape 2.3.1.3.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 y + 1 = 4 {(7 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

Étape 2.3.1.3.1.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$16 y + 1 = 4 {(7 y)}^{\frac{2}{2}} + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

Étape 2.3.1.3.1.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.1.3.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$16 y + 1 = 4 {(7 y)}^{\frac{2}{2}} + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

Étape 2.3.1.3.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$16 y + 1 = 4 {(7 y)}^{1} + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

Étape 2.3.1.3.1.2.5

Simplifiez

$16 y + 1 = 4 (7 y) + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

Étape 2.3.1.3.1.3

Multipliez $7$ par $4$ .

$16 y + 1 = 28 y + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

Étape 2.3.1.3.1.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$16 y + 1 = 28 y - 2 \sqrt{7 y} - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

Étape 2.3.1.3.1.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$16 y + 1 = 28 y - 2 \sqrt{7 y} - 2 \sqrt{7 y} - 1 \cdot - 1$

Étape 2.3.1.3.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$16 y + 1 = 28 y - 2 \sqrt{7 y} - 2 \sqrt{7 y} + 1$

Étape 2.3.1.3.2

Soustrayez $2 \sqrt{7 y}$ de $- 2 \sqrt{7 y}$ .

$16 y + 1 = 28 y - 4 \sqrt{7 y} + 1$

Étape 3

Résolvez $- 4 \sqrt{7 y}$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $28 y - 4 \sqrt{7 y} + 1 = 16 y + 1$ .

$28 y - 4 \sqrt{7 y} + 1 = 16 y + 1$

Étape 3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $- 4 \sqrt{7 y}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.2.1

Soustrayez $28 y$ des deux côtés de l’équation.

$- 4 \sqrt{7 y} + 1 = 16 y + 1 - 28 y$

Étape 3.2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 4 \sqrt{7 y} = 16 y + 1 - 28 y - 1$

Étape 3.2.3

Associez les termes opposés dans $16 y + 1 - 28 y - 1$ .

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Étape 3.2.3.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$- 4 \sqrt{7 y} = 16 y - 28 y + 0$

Étape 3.2.3.2

Additionnez $16 y - 28 y$ et $0$ .

$- 4 \sqrt{7 y} = 16 y - 28 y$

Étape 3.2.4

Soustrayez $28 y$ de $16 y$ .

$- 4 \sqrt{7 y} = - 12 y$

Étape 4

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(- 4 \sqrt{7 y})}^{2} = {(- 12 y)}^{2}$

Étape 5

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{7 y}$ comme ${(7 y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 4 {(7 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 12 y)}^{2}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Simplifiez ${(- 4 {(7 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 5.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $7 y$ .

${(- 4 (7^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}))}^{2} = {(- 12 y)}^{2}$

Étape 5.2.1.2

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 5.2.1.2.1

Appliquez la règle de produit à $- 4 \cdot 7^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 4 \cdot 7^{\frac{1}{2}})}^{2} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 12 y)}^{2}$

Étape 5.2.1.2.2

Appliquez la règle de produit à $- 4 \cdot 7^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 4)}^{2} \cdot {(7^{\frac{1}{2}})}^{2} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 12 y)}^{2}$

Étape 5.2.1.3

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$16 \cdot {(7^{\frac{1}{2}})}^{2} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 12 y)}^{2}$

Étape 5.2.1.4

Multipliez les exposants dans ${(7^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 5.2.1.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 12 y)}^{2}$

Étape 5.2.1.4.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$16 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 12 y)}^{2}$

Étape 5.2.1.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$16 \cdot 7^{1} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 12 y)}^{2}$

Étape 5.2.1.5

Évaluez l’exposant.

$16 \cdot 7 {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 12 y)}^{2}$

Étape 5.2.1.6

Multipliez $16$ par $7$ .

$112 {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 12 y)}^{2}$

Étape 5.2.1.7

Multipliez les exposants dans ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 5.2.1.7.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$112 y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 12 y)}^{2}$

Étape 5.2.1.7.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1.7.2.1

Annulez le facteur commun.

$112 y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 12 y)}^{2}$

Étape 5.2.1.7.2.2

Réécrivez l’expression.

$112 y^{1} = {(- 12 y)}^{2}$

Étape 5.2.1.8

Simplifiez

$112 y = {(- 12 y)}^{2}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

Simplifiez ${(- 12 y)}^{2}$ .

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Étape 5.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $- 12 y$ .

$112 y = {(- 12)}^{2} y^{2}$

Étape 5.3.1.2

Élevez $- 12$ à la puissance $2$ .

$112 y = 144 y^{2}$

Étape 6

Résolvez $y$ .

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Étape 6.1

Soustrayez $144 y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$112 y - 144 y^{2} = 0$

Étape 6.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 6.2.1

Laissez $u = y$ . Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $u$ .

$112 u - 144 u^{2} = 0$

Étape 6.2.2

Factorisez $16 u$ à partir de $112 u - 144 u^{2}$ .

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Étape 6.2.2.1

Factorisez $16 u$ à partir de $112 u$ .

$16 u (7) - 144 u^{2} = 0$

Étape 6.2.2.2

Factorisez $16 u$ à partir de $- 144 u^{2}$ .

$16 u (7) + 16 u (- 9 u) = 0$

Étape 6.2.2.3

Factorisez $16 u$ à partir de $16 u (7) + 16 u (- 9 u)$ .

$16 u (7 - 9 u) = 0$

Étape 6.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$16 y (7 - 9 y) = 0$

Étape 6.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$y = 0$

$7 - 9 y = 0$

Étape 6.4

Définissez $y$ égal à $0$ .

$y = 0$

Étape 6.5

Définissez $7 - 9 y$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 6.5.1

Définissez $7 - 9 y$ égal à $0$ .

$7 - 9 y = 0$

Étape 6.5.2

Résolvez $7 - 9 y = 0$ pour $y$ .

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Étape 6.5.2.1

Soustrayez $7$ des deux côtés de l’équation.

$- 9 y = - 7$

Étape 6.5.2.2

Divisez chaque terme dans $- 9 y = - 7$ par $- 9$ et simplifiez.

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Étape 6.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- 9 y = - 7$ par $- 9$ .

$\frac{- 9 y}{- 9} = \frac{- 7}{- 9}$

Étape 6.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 9$ .

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Étape 6.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 9 y}{- 9} = \frac{- 7}{- 9}$

Étape 6.5.2.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- 7}{- 9}$

Étape 6.5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.5.2.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$y = \frac{7}{9}$

Étape 6.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $16 y (7 - 9 y) = 0$ vraie.

$y = 0, \frac{7}{9}$

Étape 7

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\sqrt{16 y + 1} = 2 \sqrt{7 y} - 1$ vrai.

$y = \frac{7}{9}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$y = \frac{7}{9}$

Forme décimale :

$y = 0.\overline{7}$